Question

如图，在直角梯形ABCD中，AB⊥BC，AE∥DC交BC于点E，O是AC的中点，连接BO交AE于点H，AB=

3

，AD=2，BC=3，给出下列结论：①四边形ADCE是菱形；②S_四ABEO=

1

2

S_四ABCD；③BO⊥CD；④

HF

DF

=

3

4

．其中正确结论的个数是（　　）

• A、①②③④
• B、①③④
• C、①②
• D、①②③

Answer 1

考点：四边形综合题

专题：压轴题

分析：①根据条件四边形ABCD是直角梯形就可以得出AD∥BC，有AE∥CD就可以得出四边形AECD是平行四边形，由勾股定理可以求出AE=AD=2，就可以求出四边形AECD是菱形；
②由条件可以求出S四ABED=S△ABE+

1

2

S△AEC=

3

2

+

3

2

=

3

，S四ABCD=

1

2

（2+3）

3

=

5 3

2

，

1

2

S四ABCD=

5 3

4

≠

3

而得出结论；
③由AB=

3

，BC=3就有tan∠ACB=

3

3

，得出∠ACB=30°．就有∠BAC=60°，由O是AC的中点就可以得出△ABO是等边三角形，就有∠ABO=60°，由三角函数值可以得出∠AEB=60°，可以求出∠BHE=90°，从而得出BO⊥AE，从而得出BO⊥CD；
④作HG⊥AC于G，通过勾股定理可以求出AE、EH的值，就可以得出HG的值，根据菱形的性质可以得出OD的值，再由三角形相似就可以得出结论．

解答：解：①∵四边形ABCD是直角梯形，
∴AD∥BC．
∵AE∥DC，
∴四边形AECD是平行四边形，
∴AD=CE．
∵AD=2，BC=3，
∴CE=2，BE=1．
∵AB⊥BC，
∴∠ABC=90°．
在Rt△ABE中，由勾股定理，得
AE=

3+1

=2．
∴AD=AE，
∴四边形AECD是菱形；
②∵四边形AECD是菱形，O是AC的中点，
∴EO⊥AC，AO=OC，∠ACE=∠EAC=∠CAD=∠ACD．
∵AB=

3

，BC=3，
∴tan∠ACB=

3

3

，
∴∠ACB=30°，
∴∠ACE=∠EAC=∠CAD=∠ACD=30°
∴∠BAC=60°，EO=

1

2

AE=1，
∴由勾股定理，得AO=

3

．
∴S_{四边形ABEO}=S_△ABE+S_△AOE=

3

2

+

3

2

=

3

．
∵S_梯形ABCD=

1

2

（2+3）

3

=

5

2

3

，
∴

1

2

S_梯形ABCD=

5

4

3

≠

3

，故②错误；
③∵AO=AB=

3

，且∠BAC=60°，
∴△ABO为等边三角形，
∴∠ABO=60°，∠BAE=30°，
∴∠AHB=90°，
∴BO⊥AE，
∵AE∥CD，
∴BO⊥CD，故③正确；
∴BH=

3

2

，
∴AH=

3

2

．
④作HG⊥AC于G，连结OD，
∴∠AGH=∠OGH=∠AOG=90°，
在Rt△AGH中，∠EAC=30°，
∴HG=

3

4

．
∵O是中点，AD=CD，
∴DO⊥AC，
∴∠AOD=90°，OD=

1

2

DC=1．
∴∠HGF=∠DOF=90°，
∵∠GFH=∠DFO，
∴△GFH∽△OFD，
∴

GH

OD

=

HF

DF

，
∴

3 4

1

=

HF

DF

，
∴

HF

DF

=

3

4

，故④正确

综上所述，正确的有①③④．
故选B．

点评：本题是一道四边形的综合试题，考查了梯形的性质的运用，直角三角形的性质的运用，勾股定理的运用，等边三角形的判定及性质的运用，相似三角形的判定及性质的运用．解答本题合理利用30°的直角三角形的性质和作辅助线是关键．