Question

如图，在正方形ABCD中，点E、点F分别在边BC、DC上，BE=DF，∠EAF=60°．
（1）若AE=2，求EC的长；
（2）若点G在DC上，且∠AGC=120°，求证：AG=EG+FG．

Answer 1

考点：正方形的性质,全等三角形的判定与性质,等边三角形的判定与性质,等腰直角三角形

专题：压轴题

分析：（1）连接EF，根据正方形的性质求出AB=AD，∠B=∠D，然后利用“边角边”证明△ABE和△ADF全等，根据全等三角形对应边相等可得AE=AF，从而得到△AEF是等边三角形，根据等边三角形的三条边都相等可得EF，再判断出△CEF是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的直角边与斜边的关系求解即可；
（2）根据邻补角的定义求出∠AGF=60°，然后判断出点A、E、G、F四点共圆，从而得到∠AGE=∠AFE=60°，再求出∠CGE=60°，延长GE交AB的延长线于H，根据两直线平行，内错角相等可得∠H=∠CGE=60°，再求出∠GAF=∠HAE，然后利用“角角边”证明△AFG和△AEH全等，根据全等三角形对应边相等可得AG=AH，FG=EH，从而得证．

解答：（1）解：如图，连接EF，
在正方形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D，
在△ABE和△ADF中，

AB=AD ∠B=∠D BE=DF

，
∴△ABE≌△ADF（SAS），
∴AE=AF，
∵∠EAF=60°，
∴△AEF是等边三角形，
∴EF=AE=2，
∵BE=DF，BC=CD，
∴BC-BE=CD-DF，
即CE=CF，
∴△CEF是等腰直角三角形，
∴EC=

2

2

EF=

2

2

×2=

2

；

（2）证明：∵∠AGC=120°，
∴∠AGF=180°-∠AGC=180°-120°=60°，
又∵△AEF是等边三角形，（已证）
∴∠AEF=60°，
∴点A、E、G、F四点共圆，
∴∠AGE=∠AFE=60°，
∴∠CGE=∠AGC-∠AGE=120°-60°=60°，
延长GE交AB的延长线于H，
∵AB∥CD，
∴∠H=∠CGE=60°，
∴∠H=∠AGF，
又∵∠GAF+∠EAG=∠EAF=60°，
∠HAE+∠EAG=∠GAB=60°，
∴∠GAF=∠HAE，
在△AFG和△AEH中，

∠H=∠AGF ∠GAF=∠HAE AE=AF

，
∴△AFG≌△AEH（AAS），
∴AG=AH，FG=EH，
∵∠AGE=60°，
∴△AGH是等边三角形，
∵AH=GH=EG+EH=EG+FG，
即AG=EG+FG．

点评：本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，（2）先求出四点共圆，然后求出∠AGE=∠AFE=60°，然后作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．