Question

【题目】△ABC是等边三角形，点D是射线BC上的一个动点（点D不与点B、C重合），△ADE是以AD为边的等边三角形，过点E作BC的平行线，分别交射线AB、AC于点F、G，连接BE.

(1) 如图1，当点D在线段BC上时：

①求证：△AEB≌△ADC；②求证：四边形BCGE是平行四边形；

（2）如图2，当点D在BC的延长线上，且CD＝BC时，试判断四边形BCGE是什么特殊的四边形？并说明理由.

Answer 1

【答案】（1）①证明见解析；②证明见解析；（2）四边形BCGE是菱形，理由见解析.

【解析】

（1）①利用有两条边对应相等并且夹角相等的两个三角形全等即可证明△AEB≌△ADC；
②由△AEB≌△ADC，可得∠ABE=∠C=60°，进而证明∠ABE=∠BAC，则可得到EB∥GC又EG∥BC，所以四边形BCGE是平行四边形；

（2）与（1）一样可证得△ABE≌△ADC，得到BE=CD；与（1）一样可证得四边形BCGE为平行四边形，根据菱形的判定方当BC=BE时，四边形BCGE是菱形，此时BC=CD，所以有DC=BC时，四边形BCGE是菱形．

解：（1）证明：

∵△ABC与△ADE都是等边三角形

∴AE=AD，AB=AC，∠EAD=∠BAC=60

∴∠1+∠2=∠2+∠3=60

即∠1=∠3

∴△AEB≌△ADC

②由①可得△AEB≌△ADC，△ABC是等边三角形

∴∠4=∠5=∠BAC=60

∴BE∥CG

∵EG∥BC

∴四边形BCGE是平行四边形

（2）四边形BCGE是菱形，理由是：

由（1）同理可得△AEB≌△ADC

∴∠ABE=∠6=180-∠7=180-60=120，BE=CD

∴∠ABE+∠BAC=120+60=180，∴BE∥AG

∵EG∥BC

∴四边形BCGE是平行四边形

∵CD=BC，∴BE=BC

∴四边形BCGE是菱形