【题目】已知在平面直角坐标系中,抛物线与x轴相交于点A,B,与y轴相交于点C,直线y=x+4经过A,C两点,
(1)求抛物线的表达式;
(2)如果点P,Q在抛物线上(P点在对称轴左边),且PQ∥AO,PQ=2AO,求P,Q的坐标;
(3)动点M在直线y=x+4上,且△ABC与△COM相似,求点M的坐标.
【答案】(1)(2)P点坐标(﹣5,﹣),Q点坐标(3,﹣)(3)M点的坐标为(﹣,),(﹣3,1)
【解析】
试题(1)根据自变量与函数值的对应关系,可得A、C点坐标,根据待定系数法,可得函数解析式;
(2)根据平行于x轴的直线与抛物线的交点关于对称轴对称,可得P、Q关于直线x=﹣1对称,根据PQ的长,可得P点的横坐标,Q点的横坐标,根据自变量与函数值的对应关系,可得答案;
(3)根据两组对边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似,可得CM的长,根据等腰直角三角形的性质,可得MH的长,再根据自变量与函数值的对应关系,可得答案.
试题解析:(1)当x=0时,y=4,即C(0,4),
当y=0时,x+4=0,解得x=﹣4,即A(﹣4,0),
将A、C点坐标代入函数解析式,得
,
解得,
抛物线的表达式为;
(2)PQ=2AO=8,
又PQ∥AO,即P、Q关于对称轴x=﹣1对称,
PQ=8,﹣1﹣4=﹣5,
当x=﹣5时,y=×(﹣5)2﹣(﹣5)+4=﹣,即P(﹣5,﹣);
﹣1+4=3,即Q(3,﹣);
P点坐标(﹣5,﹣),Q点坐标(3,﹣);
(3)∠MCO=∠CAB=45°,
①当△MCO∽△CAB时,,即,
CM=.
如图1,
过M作MH⊥y轴于H,MH=CH=CM=,
当x=﹣时,y=﹣+4=,
∴M(﹣,);
当△OCM∽△CAB时,,即,解得CM=3,
如图2,
过M作MH⊥y轴于H,MH=CH=CM=3,
当x=﹣3时,y=﹣3+4=1,
∴M(﹣3,1),
综上所述:M点的坐标为(﹣,),(﹣3,1).
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC的顶点A、C的坐标分别为(9,0),(0,3),OD=5,点P在BC(不与点B、C重合)上运动,当△OPD为等腰三角形时,点P的坐标为______.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,点,,.
(1)在所给坐标系中作出关于y轴的对称图形;
(2)分别写出点,,的坐标;
(3)在轴上是否存在一点,使的周长最小,若存在,在所给坐标系中作出点(不写作法,保留作图痕迹)并写出点的坐标,若不存在,请说明理由.
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【题目】一块长方体木块的各棱长如图所示,一只蜘蛛在木块的一个顶点A处,一只苍蝇在这个长方体上和蜘蛛相对的顶点B处,蜘蛛急于捉住苍蝇,沿着长方体的表面向上爬.
(1)如果D是棱的中点,蜘蛛沿“AD→DB”路线爬行,它从A点爬到B点所走的路程为多少?
(2)若蜘蛛还走前面和右面这两个面,你认为“AD-DB"是最短路线吗?如果不是,请求出最短路程,如果是,请说明理由
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,直线l与坐标轴相交于点M(3,0),N(0,﹣4),反比例函数y=(x>0)的图象经过Rt△MON的外心A.
(1)求直线l的解析式;
(2)直接写出点A坐标及k值;
(3)在函数y=(x>0)的图象上取异于点A的一点B,作BC⊥x轴于点C,连接OB交直线l于点P,若△OMP的面积与△OBC的面积相等,求点P的坐标.
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【题目】如图,直线y=kx+b与x轴、y轴分别交于点A,B,且OA,OB的长(OA>OB)是方程x2-10x+24=0的两个根,P(m,n)是第一象限内直线y=kx+b上的一个动点(点P不与点A,B重合).
(1)求直线AB的解析式.
(2)C是x轴上一点,且OC=2,求△ACP的面积S与m之间的函数关系式;
(3)在x轴上是否有在点Q,使以A,B,Q为顶点的三角形是等腰三角形?若存在,请直接写出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】如图,已知直线AB与x轴交于点A(4,0)、与y轴交于点B(0,3),直线 BD与x轴交于点D,将直线AB沿直线BD翻折,点A恰好落在y轴上的C点,则直线BD对应的函数关系式为______ .
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(﹣4,3)、B(﹣3,1)、C(﹣1,3).
(1)请按下列要求画图:
①将△ABC先向右平移4个单位长度、再向上平移2个单位长度,得到△A1B1C1,画出△A1B1C1;
②△A2B2C2与△ABC关于原点O成中心对称,画出△A2B2C2.
(2)在(1)中所得的△A1B1C1和△A2B2C2关于点M成中心对称,请直接写出对称中心M点的坐标.
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【题目】如图,有一种动画程序,在平面直角坐标系屏幕上,直角三角形是黑色区域(含直角三角形边界),其中A(1,1),B(2,1),C(1,3),用信号枪沿直线y=3x+b发射信号,当信号遇到黑色区域时,区域便由黑变白,则能够使黑色区域变白的b的取值范围是( )
A.﹣5≤b≤0B.﹣5<b≤﹣3C.﹣5≤b≤3D.﹣5≤b≤5
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