【题目】如图,在平面直角坐标系中,已知点B的坐标是(﹣1,0),并且OA=OC=4OB,动点P在过A,B,C三点的抛物线上.
(1)求抛物线的解析式;
(2)是否存在点P,使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形?若存在,求出所有符合条件的点P的坐标;若不存在,说明理由;
(3)过动点P作PE垂直于y轴于点E,交直线AC于点D,过点D作x轴的垂线.垂足为F,连接EF,当线段EF的长度最短时,写出点P的坐标(不要求写解题过程).
【答案】
(1)
解:由B(﹣1,0)可知OB=1,
∵OA=OC=4OB,
∴OA=OC=4,OB=1,
∴C(0,4),A(4,0).
设抛物线的解析式是y=ax2+bx+c,
则 ,
解得: ,
则抛物线的解析式是y=﹣x2+3x+4;
(2)
解:存在.
①当以C为直角顶点时,
过点C作CP1⊥AC,交抛物线于点P1,
过点P1作y轴的垂线,垂足是M,M,如图1.
∵∠A CP1=90°,∴∠MCP1+∠ACO=90°.
∵∠ACO+∠OAC=90°,
∴∠MCP1=∠OAC.
∵OA=OC,
∴∠MCP1=∠OAC=45°,
∴∠MCP1=∠MP1C,
∴MC=MP1,
设P(m,﹣m2+3m+4),
则m=﹣m2+3m+4﹣4,
解得:m1=0(舍去),m2=2.
∴m=2,
此时﹣m2+3m+4=6,
∴P1P的坐标是(2,6).
②当点A为直角顶点时,
过A作AP2⊥AC交抛物线于点P2,
过点P2作y轴的垂线,垂足是N,AP交y轴于点F,如图2.
∴P2N∥x轴,
由∠CAO=45°得∠OAP2 =45°,
∴∠FP2N=45°,AO=OF.
∴P2N=NF,
设P2(n,﹣n2+3n+4),
则﹣n+4=﹣(﹣n2+3n+4),
解得:n1=﹣2,n2=4(舍去),
∴n=﹣2,
此时﹣n2+3n+4=﹣6,
∴P2的坐标是(﹣2,﹣6).
综上所述:P的坐标是(2,6)或(﹣2,﹣6);
(3)
解:当EF最短时,点P的坐标是( ,2)或(
,2).
解题过程如下:
连接OD,由题意可知,四边形OFDE是矩形,则OD=EF.
根据垂线段最短可得:当OD⊥AC时,OD(即EF)最短.
由(1)可知,在直角△AOC中,OC=OA=4.
根据等腰三角形的性质可得:D是AC的中点.
又∵DF∥OC,
∴△AFD∽△AOC,
∴ =
=
∴DF= OC=2,
∴点D的纵坐标是2,
∴点P的纵坐标也是2,
解﹣x2+3x+4=2得,
x1= ,x2=
,
∴点P的坐标为( ,2)或(
,2).
【解析】(1)只需求出A、B、C三点的坐标,然后运用待定系数法就可求出抛物线的解析式;(2)可分两种情况(①以C为直角顶点,②以A为直角顶点)讨论,然后根据点P的纵、横坐标之间的关系建立等量关系,就可求出点P的坐标;(3)连接OD , 易得四边形OFDE是矩形,则OD=EF , 根据垂线段最短可得当OD⊥AC时,OD(即EF)最短,然后只需求出点D的纵坐标,就可得到点P的纵坐标,就可求出点P的坐标.
【考点精析】本题主要考查了抛物线与坐标轴的交点的相关知识点,需要掌握一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与x轴的交点坐标.因此一元二次方程中的b2-4ac,在二次函数中表示图像与x轴是否有交点.当b2-4ac>0时,图像与x轴有两个交点;当b2-4ac=0时,图像与x轴有一个交点;当b2-4ac<0时,图像与x轴没有交点.才能正确解答此题.
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【题目】如图,在△ABC中,∠C=90°,∠ABC的平分线交AC于点E,过点E作BE的垂线交AB于点F,⊙O是△BEF的外接圆.
(1)求证:AC是⊙O的切线.
(2)过点E作EH⊥AB于点H,求证:CD=HF.
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【题目】如图,以BC为直径的圆交△ABC的两边AB、AC于点D、E,点E恰为AC的中点,BF为△ABC的外角平分线,点F在圆上,请你仅用一把无刻度的直尺,过点A作一条线段,将△ABC分成面积相等的两部分.
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【题目】如图,已知A(﹣4,0.5),B(﹣1,2)是一次函数y=ax+b与反比例函数 (m<0)图象的两个交点,AC⊥x轴于C,BD⊥y轴于D.
(1)根据图象直接回答:在第二象限内,当x取何值时,一次函数大于反比例函数的值?
(2)求一次函数解析式及m的值;
(3)P是线段AB上的一点,连接PC,PD,若△PCA和△PDB面积相等,求点P坐标.
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【题目】某公司市场营销部的营销员的个人月收入y(元)与该营销员每月的销售量x(万件)成一次函数关系,其图象如图11所示.根据图象提供的信息,解答下列问题:
(1)求出营销员的个人月收入y(元)与该营销员每月的销售量x(万件)(x≥0)之间的函数关系式;
(2)已知该公司营销员李平5月份的销售量为1.2万件,求李平5月份的收入.
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【题目】如图,正△ABC与等腰△ADE的顶点A重合,AD=AE,∠DAE=30°,将△ADE绕顶点A旋转,在旋转过程中,当BD=CE时,∠BAD的大小可以是 .
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【题目】如图,正方形ABFG和正方形CDEF的顶点在边长为1的正方形网格的格点上.
(1)建立平面直角坐标系,使点B,C的坐标分别为(0,0)和(5,0),并写出点A,D,E,F,G的坐标;
(2)连接BE和CG相交于点H,BE和CG相等吗?并计算∠BHC的度数.
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【题目】如图甲,四边形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上,顶点在B点的抛物线交x轴于点A、D,交y轴于点E,连接AB、AE、BE.已知tan∠CBE= ,A(3,0),D(﹣1,0),E(0,3).
(1)求抛物线的解析式及顶点B的坐标;
(2)求证:CB是△ABE外接圆的切线;
(3)试探究坐标轴上是否存在一点P,使以D、E、P为顶点的三角形与△ABE相似,若存在,直接写出点P的坐标;若不存在,请说明理由;
(4)设△AOE沿x轴正方向平移t个单位长度(0<t≤3)时,△AOE与△ABE重叠部分的面积为s,求s与t之间的函数关系式,并指出t的取值范围.
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