【题目】已知关于x的方程x2﹣2(m+1)x+m2﹣3=0.
(1)当m取何值时,方程有两个不相等的实数根?
(2)设x1、x2是方程的两根,且(x1+x2)2﹣(x1+x2)﹣12=0,求m的值.
【答案】(1)m>-2 (2)m=1
【解析】
(1)若一元二次方程有两不等实数根,则根的判别式△=b2-4ac>0,建立关于m的不等式,求出m的取值范围.
(2)给出方程的两根,根据所给方程形式,可利用一元二次方程根与系数的关系得到x1+x2=2(m+1),代入
且(x1+x2)2-(x1+x2)-12=0,即可解答.
解:(1)∵方程有两个不相等的实数根,
∴△=b2﹣4ac=[﹣2(m+1)]2﹣4×1×(m2﹣3)=16+8m>0,
解得:m>﹣2;
(2)根据根与系数的关系可得:
x1+x2=2(m+1),
∵(x1+x2)2﹣(x1+x2)﹣12=0,
∴[2(m+1)]2﹣2(m+1)﹣12=0,
解得:m1=1或m2=﹣(舍去)
∵m>﹣2;
∴m=1.
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【题目】课本中有一道作业题:
有一块三角形余料ABC,它的边BC=120mm,高AD=80mm.要把它加工成正方形零件,使正方形的一边在BC上,其余两个顶点分别在AB,AC上.问加工成的正方形零件的边长是多少mm?
小颖解得此题的答案为48mm,小颖善于反思,她又提出了如下的问题.
(1)如果原题中要加工的零件是一个矩形,且此矩形是由两个并排放置的正方形所组成,如图1,此时,这个矩形零件的两条边长又分别为多少mm?请你计算.
(2)如果原题中所要加工的零件只是一个矩形,如图2,这样,此矩形零件的两条边长就不能确定,但这个矩形面积有最大值,求达到这个最大值时矩形零件的两条边长.
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【题目】如图,点A,B,C都在抛物线y=ax2﹣2amx+am2+2m﹣5(其中﹣<a<0)上,AB∥x轴,∠ABC=135°,且AB=4.
(1)填空:抛物线的顶点坐标为 (用含m的代数式表示);
(2)求△ABC的面积(用含a的代数式表示);
(3)若△ABC的面积为2,当2m﹣5≤x≤2m﹣2时,y的最大值为2,求m的值.
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【题目】已知:如图,点C是以AB为直径的⊙O上一点,直线AC与过B点的切线相交于D,点E是BD的中点,直线CE交直线AB于点F.
(1)求证:CF是⊙O的切线;
(2)若ED=3,EF=5,求⊙O的半径.
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【题目】如图,小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树AB的高度,他调整自己的位置,设法使斜边DF保持水平,并且边DE与点B在同一直线上,已知纸板的两条直角边DE=40cm,EF=20cm,测得边DF离地面的高度AC=1.5m,CD=8m,求树AB的高度.
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【题目】如图,抛物线的图象与x轴交于A、B两点(点A在点B的左边),与y轴交于点C,点D为抛物线的顶点.
(1)求A、B、C的坐标;
(2)点M为线段AB上一点(点M不与点A、B重合),过点M作x轴的垂线,与直线AC交于点E,与抛物线交于点P,过点P作PQ∥AB交抛物线于点Q,过点Q作QN⊥x轴于点N.若点P在点Q左边,当矩形PQMN的周长最大时,求△AEM的面积;
(3)在(2)的条件下,当矩形PMNQ的周长最大时,连接DQ.过抛物线上一点F作y轴的平行线,与直线AC交于点G(点G在点F的上方).若FG=DQ,求点F的坐标.
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【题目】位于河南省郑州市的炎黄二帝巨型塑像,是为代表中华民族之创始、之和谐、之统一.塑像由山体CD和头像AD两部分组成.某数学兴趣小组在塑像前50米处的B处测得山体D处的仰角为45°,头像A处的仰角为70.5°,求头像AD的高度.(最后结果精确到0.1米,参考数据:sin70.5°≈0.943,cos70.5°≈0.334,tan70.5°≈2.824)
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【题目】已知抛一枚均匀硬币正面朝上的概率为,下列说法错误的是
A. 连续抛一枚均匀硬币2次必有1次正面朝上
B. 连续抛一枚均匀硬币10次都可能正面朝上
C. 大量反复抛一枚均匀硬币,平均每100次出现正面朝上50次
D. 通过抛一枚均匀硬币确定谁先发球的比赛规则是公平的
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