Question

1．阅读以下内容，并回答问题：
定义：如果二次函数y=a₁x²+b₁x+c₁（a₁，b₁，c₁是常数，a₁≠0）与y=a₂x²+b₂x+c₂（a₂，b₂，c₂是常数，a₂≠0）满足a₁+a₂=0，b₁=b₂，c₁+c₂=0，则称这两个函数互为“旋转函数”．
（1）函数y=-x²+3x-2的“旋转函数”是y=x²+3x+2；
（2）已知函数y=-$\frac{1}{2}$（x+1）（x-4）的图象与x轴交于A，B两点，与轴交于点C，点A，B，C关于原点的对称点分别是A₁，B₁，C₁，试证明经过点A₁，B₁，C₁的二次函数与函数y=-$\frac{1}{2}$（x+1）（x-4）互为“旋转函数”．

Answer 1

分析 （1）利用“旋转函数”的定义，两二次函数的二次项系数互为相反数，一次项系数相等，常数项互为相反数，于是易得函数y=-x²+3x-2的“旋转函数；
（2）根据抛物线与x轴的交点问题可得A（-1，0），B（4，0），再计算自变量为0时的函数值得到C（0，2），接着利用关于原点中心对称的点的坐标特征得到A₁（1，0），B₁（-4，0），C₁（0，-2），然后解交点式可求出经过点A₁，B₁，C₁的二次函数解析式为y=$\frac{1}{2}$（x-1）（x+4），即y=$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x-2，再利用“旋转函数”的定义即可判断经过点A₁，B₁，C₁的二次函数与函数y=-$\frac{1}{2}$（x+1）（x-4）互为“旋转函数”．

解答 （1）解：函数y=-x²+3x-2的“旋转函数”是y=x²+3x+2；
故答案为y=x²+3x+2；
（2）证明：∵函数y=-$\frac{1}{2}$（x+1）（x-4）=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2的图象与x轴交于A，B两点，与轴交于点C，
∴A（-1，0），B（4，0），C（0，2），
∵点A，B，C关于原点的对称点分别是A₁，B₁，C₁，
∴A₁（1，0），B₁（-4，0），C₁（0，-2），
设经过点A₁，B₁，C₁的二次函数为y=a（x-1）（x+4），
把C₁（0，-2）代入得a•（-1）•4=-2，解得a=$\frac{1}{2}$，
∴经过点A₁，B₁，C₁的二次函数为y=$\frac{1}{2}$（x-1）（x+4），即y=$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x-2，
∵-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$=0，$\frac{3}{2}$=$\frac{3}{2}$，2+（-2）=0，
∴经过点A₁，B₁，C₁的二次函数与函数y=-$\frac{1}{2}$（x+1）（x-4）互为“旋转函数”．

点评 本题考查了抛物线与x轴的交点：从二次函数的交点式y=a（x-x₁）（x-x₂）（a，b，c是常数，a≠0）中可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x₁，0），（x₂，0）．解决本题的关键是理解“旋转函数”的定义．