Question

7．如图，在矩形ABCD中，E是BC边上的点，连接AE、DE，将△DEC沿线段DE翻折，点C恰好落在线段AE上的点F处．若AB=3，BE：EC=4：1，则线段DE的长为$\sqrt{10}$．

Answer 1

分析 由翻折易得△DFE≌△DCE，则DF=DC，∠DFE=∠C=90°，再由AD∥BC得∠DAF=∠AEB，根据AAS证出△ABE≌△DFA；则AE=AD，设CE=x，从而表示出BE，AE，再由勾股定理，求得DE．

解答 证明：由矩形ABCD，得∠B=∠C=90°，CD=AB，AD=BC，AD∥BC．
由△DEC沿线段DE翻折，点C恰好落在线段AE上的点F处，得△DFE≌△DCE，
∴DF=DC，∠DFE=∠C=90°，
∴DF=AB，∠AFD=90°，
∴∠AFD=∠B，
由AD∥BC得∠DAF=∠AEB，
∴在△ABE与△DFA中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AEB=∠DAF}\\{∠B=∠AFD}\\{AB=DF}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△DFA（AAS）．
∵由EC：BE=1：4，
∴设CE=x，BE=4x，则AD=BC=5x，
由△ABE≌△DFA，得AF=BE=4x，
在Rt△ADF中，由勾股定理可得DF=3x，
又∵DF=CD=AB=3
∴x=1
在Rt△DCE中，DE=$\sqrt{E{C}^{2}+D{C}^{2}}$=$\sqrt{{1}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{10}$．
故答案是：$\sqrt{10}$．

点评 本题考查了三角形的全等和勾股定理的应用，一定要熟练掌握全等三角形的判定方法和勾股定理的内容．