Question

17．如果一个正整数数能写成两个连续非负偶数的平方差，我们就把这个数叫做奇异数．例如4=2²-0²，12=4²-2²，4和12就是奇异数，两个连续正偶数分别用2k+2和k表示（k是非负整数）．
（1）小雷说一个奇异数一定是4的倍数，你能说出其中的理由吗？
（2）小华说：“不是所有的4倍数都是奇异数．”你认为她的说法对吗？若认为正确，举出一个不是奇异数的4的倍数．
（3）如果一个正整数数能写成两个连续非负奇数的平方差，我们就把这个数叫做美丽数．①若一个美丽数一定是m的倍数，m=8；
②m的倍数一定是（填是或不是）美丽数；
③是否存在一个正整数，它既是奇异数，又是美丽数？若存在，写出一个这样的数；若不存在，简要说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据“奇异数”的定义，只需看能否把2k+2和2k这两个数写成两个连续偶数的平方差即可判断；
（2）运用平方差公式进行计算，进而判断即可；
（3）运用平方差公式进行计算，进而判断即可．

解答 解：（1）由题意得：（2k+2）²-（2k）²=4（2k+1），
所以奇异数一定是4的倍数；
（2）说法正确．4的偶数倍不是奇异数，如16=4²-0²不是奇异数；
（3）①m=8；
故答案为：8；
②是，
故答案为：是；
③不存在．因为奇异数一定是4的奇数倍，而美丽数是8的倍数，即是4的偶数倍，所以不存在既是奇异数又是美丽数的数．

点评 此题主要考查了平方差公式的应用，此题是一道新定义题目，熟练记忆平方差公式是解题关键．