【题目】在四边形ABCD中,对角线AC与BD交于点O,E是OC上任意一点,AG⊥BE于点G,交直线BD于点F.
(1)如图1,若四边形ABCD是正方形,判断AF与BE的数量关系:AF与BE的数量关系是 ;
(2)如图2,若四边形ABCD是菱形,∠ABC=120°,求的值;
(3)如图3,若四边形ABCD中,AC⊥BD,∠ABC=α,∠DBC=β,请你补全图形,并直接写出:= (用含α,β的式子表示).
【答案】(1)AF=BE(2)(3)tan(α﹣β)
【解析】
试题分析:(1)根据正方形的性质和全等三角形的性质即可得到结论;
(2)根据四边形ABCD是菱形和∠ABC=120°,推出AC⊥BD,∠ABO=60°,根据余角的性质得到∠AFO=∠BEA,又因为∠AOF=∠BOE=90°,推出三角形相似,即可得到结论;
(3)根据垂直的定义得到∠AGB=∠AOB=90°,推出A,G,B,O四点共圆,根据圆内接四边形的性质得到∠GAO=∠GAO,推出△AOF∽△BOE,即可得到结论.
解:(1)AF=BE;
∵四边形ABCD是正方形,
∴∠AOB=∠BOC=90°,AO=BO,
∵AG⊥BE,∠AFO=∠BFG,
∴∠FAO=∠FBG,
在△AFO与△BFO中,
,
∴△AFO≌△BFO,
∴AF=BE;
故答案为:AF=BE;
(2)∵四边形ABCD是菱形,∠ABC=120°,
∴AC⊥BD,∠ABO=60°,
∴∠FAO+∠AFO=90°,
∵AG⊥BE,
∴∠EAG+∠BEA=90°,
∴∠AFO=∠BEA,
又∵∠AOF=∠BOE=90°,
∴△AOF∽△BOE,
∴=,
∵∠ABO=60°,AC⊥BD,
∴=tan60°=,
∴=;
(3)如图3,∵AG⊥BE,AC⊥BD,
∴∠AGB=∠AOB=90°,
∴A,G,B,O四点共圆,
∴∠GAO=∠GAO,
∴∠AOF=∠BOE=90°,
∴△AOF∽△BOE,
∴=,
∵∠ABO=∠ABC﹣∠OBC=α﹣β,AC⊥BD,
∴=tan(α﹣β),
∴=tan(α﹣β).
故答案为:tan(α﹣β).
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【题目】甲、乙两人玩摸球游戏,从放有足够多球的箱子中摸球,规定每人最多两种取法,甲每次摸4个或(3-k)个,乙每次摸5个或(5-k)个(k是常数,且0<k<3);经统计,甲共摸了16次,乙共摸了17次,并且乙至少摸了两次5个球,最终两人所摸出的球的总个数恰好相等,那么箱子中至少有球__________个.
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【题目】在平面直角坐标系XOY中,有A(3 , 2) ,B (-1 ,-4 ),P是X轴上的一点,Q是Y轴上的一点,若以点A,B,P,Q四个点为顶点的四边形是平行四边形,则Q点的坐标是______.
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【题目】某商场购进一种每件价格为100元的新商品,在商场试销发现:销售单价x(元/件)与每天销售量y(件)之间满足如图所示的关系:
(1)求出y与x之间的函数关系式;
(2)写出每天的利润W与销售单价x之间的函数关系式;若你是商场负责人,会将售价定为多少,来保证每天获得的利润最大,最大利润是多少?
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【题目】弹簧挂上物体后会伸长,已知一弹簧的长度(cm)与所挂物体的重量(kg)之间的关系如下表:
所挂物体的重量(kg) | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
弹簧的长度(cm) | 12 | 12.5 | 13 | 13.5 | 14 | 14.5 | 15 | 15.5 |
(1)当所挂物体的重量为3kg时,弹簧的长度是_____________cm;
(2)如果所挂物体的重量为xkg,弹簧的长度为ycm,根据上表写出y与x的关系式;
(3)当所挂物体的重量为5.5kg时,请求出弹簧的长度。
(4)如果弹簧的最大伸长长度为20cm,则该弹簧最多能挂多重的物体?
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