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【题目】在四边形ABCD中,对角线AC与BD交于点O,E是OC上任意一点,AGBE于点G,交直线BD于点F.

(1)如图1,若四边形ABCD是正方形,判断AF与BE的数量关系:AF与BE的数量关系是

(2)如图2,若四边形ABCD是菱形,ABC=120°,求的值;

(3)如图3,若四边形ABCD中,ACBDABC=αDBC=β,请你补全图形,并直接写出:= (用含α,β的式子表示).

【答案】1AF=BE23tan(α﹣β)

【解析】

试题分析:(1)根据正方形的性质和全等三角形的性质即可得到结论;

(2)根据四边形ABCD是菱形和ABC=120°,推出ACBDABO=60°,根据余角的性质得到AFO=BEA,又因为AOF=BOE=90°,推出三角形相似,即可得到结论;

(3)根据垂直的定义得到AGB=AOB=90°,推出A,G,B,O四点共圆,根据圆内接四边形的性质得到GAO=GAO,推出AOF∽△BOE,即可得到结论.

解:(1)AF=BE;

四边形ABCD是正方形,

∴∠AOB=BOC=90°,AO=BO,

AGBEAFO=BFG

∴∠FAO=FBG

AFOBFO中,

∴△AFO≌△BFO

AF=BE

故答案为:AF=BE;

(2)四边形ABCD是菱形,ABC=120°

ACBDABO=60°,

∴∠FAO+AFO=90°

AGBE

∴∠EAG+BEA=90°

∴∠AFO=BEA

∵∠AOF=BOE=90°

∴△AOF∽△BOE

=

∵∠ABO=60°,ACBD

=tan60°=

=

(3)如图3,AGBE,ACBD

∴∠AGB=AOB=90°

A,G,B,O四点共圆,

∴∠GAO=GAO

∴∠AOF=BOE=90°

∴△AOF∽△BOE

=

∵∠ABO=ABCOBC=α﹣β,ACBD

=tan(α﹣β),

=tan(α﹣β).

故答案为:tan(α﹣β).

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所挂物体的重量(kg)

0

1

2

3

4

5

6

7

弹簧的长度(cm)

12

12.5

13

13.5

14

14.5

15

15.5

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