Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的A、B两个顶点在x轴上，顶点C在y轴的负半轴上．已知|OA|：|OB|=1：5，|OB|=|OC|，△ABC的面积S_△ABC=15，抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）经过A、B、C三点．
（1）求此抛物线的函数表达式；
（2）在抛物线上是否存在异于B、C的点M，使△MBC中BC边上的高为？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明由．

Answer 1

解：（1）∵|OA|：|OB|=1：5，|OB|=|OC|，
∴设|OB|=|OC|=5|OA|=5m，
∵S_△ABC=15，
∴（m+5m）×5m=15，
∴m=1，
∴|OB|=|OC|=5，
|OA|=1，
∵抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）经过A、B、C三点A（-1，0）B（5，0）C（0，-5），
设二次函数解析式为y=ax²+bx+c，
把A（-1，0）B（5，0）C（0，-5）分别代入解析式得，
，
解得，
∴a=1，b=-4，c=-5，
∴y=x²-4x-5．

（2）设直线BC的解析式为y=kx+b，把（5，0），（0，-5）分别代入解析式得：
，
解得，
则一次函数解析式为y=x-5 即x-y-5=0，
设M的坐标为（n，n²-4n-5），
代入点到直线的距离公式得：=7，
整理得：①n²-5n+14=0，
∵△=25-56=-31＜0，
∴方程无解；
②n²-5n-14=0，
解得：n=-2或n=7．
故M点坐标为（-2，7），（7，16）．
分析：（1）根据|OA|：|OB|=1：5，|OB|=|OC|，△ABC的面积S_△ABC=15，设|OB|=|OC|=5|OA|=5m，可得（m+5m）×5m=15，求出m的值，从而得到A、B、C三点的坐标，利用待定系数法求出函数解析式；
（2）利用待定系数法求出一次函数解析式，根据二次函数解析式设出函数图象上点的坐标，利用点到直线的距离公式列出关于n的方程，解答即可．
点评：本题考查了二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有待定系数法求一次函数解析式和二次函数解析式、三角形的面积求法、点到直线的距离公式等．计算量较大，涉及面较广，要认真对待．