[题目]如图1.在平面直角坐标系中.直线AB与轴交于点A.与轴交于点B.且∠ABO＝45°.A(-6.0).直线BC与直线AB关于轴对称.(1)求△ABC的面积, (2)如图2.D为OA延长线上一动点.以BD为直角边.D为直角顶点.作等腰直角△BDE.求证:AB⊥AE, (3)如图3.点E是轴正半轴上一点.且∠OAE＝30°.AF平分∠OAE.点M是射线AF上一动点.点N是线段AO上一动点.� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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【题目】如图1，在平面直角坐标系中，直线AB与轴交于点A、与轴交于点B，且∠ABO＝45°，A（－6，0），直线BC与直线AB关于轴对称.

(1)求△ABC的面积；

(2)如图2，D为OA延长线上一动点，以BD为直角边，D为直角顶点，作等腰直角△BDE，求证：AB⊥AE；

(3)如图3，点E是轴正半轴上一点，且∠OAE＝30°，AF平分∠OAE，点M是射线AF上一动点，点N是线段AO上一动点，判断是否存在这样的点M，N，使OM＋NM的值最小？若存在，请写出其最小值，并加以说明.

【答案】（1）36；（2）证明见解析；（3）3，理由见解析.

【解析】

(1)根据直线与坐标轴的交点易得A,C的坐标，从而得出AC=12，OB=6，根据三角形面积公式可求解；

(2) 过E作EF⊥x轴于点F，延长EA交y轴于点H，证△DEF≌△BDO，得出EF＝OD＝AF，有，得出∠BAE＝90°.

(3)由已知条件可在线段OA上任取一点N,再在AE作关于OF的对称点,当点N运动时，最短为点O到直线AE的距离.再由，在直角三角形中,

即可得解.

解：（1）由已知条件得：

AC=12，OB=6

∴

（2）过E作EF⊥x轴于点F，延长EA交y轴于点H,

∵△BDE是等腰直角三角形，

∴DE=DB, ∠BDE=90°,

∴

∵

∴

∵EF轴，

∴

∴DF=BO=AO,EF=OD

∴AF=EF

∴

∴∠BAE＝90°

（3）由已知条件可在线段OA上任取一点N,再在AE作关于OF的对称点,当点N运动时，最短为点O到直线AE的距离,即点O到直线AE的垂线段的长，

∵，OA=6，

∴OM+ON=3

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