【题目】如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+x+2与x轴交于点A(4,0)与y轴交于点B.点M在线段AB上,其横坐标为m,PM∥y轴,与抛物线交点为点P,PQ∥x轴,与抛物线交点为点Q
(1)求a的值、并写出此抛物线顶点的坐标;
(2)求m为何值时,△PMQ为等腰直角三角形.
【答案】(1)a=﹣,y=﹣x2+x+2,顶点(1,);(2)m=6﹣2或2﹣2
【解析】
(1)将A(4,0)代入抛物线y=ax2+x+2求出a的值,然后将二次函数的一般式化为顶点式即可求出顶点坐标;
(2)先利用待定系数法求出直线AB的解析式,设P(m,﹣m2+m+2),M(m,m+2),从而求出PM,分两种情况讨论当0<m≤1时和当1<m<4时,分别利用二次函数的对称性用含m的式子表示出PQ,然后利用PM=PQ列方程即可求出m的值.
解:(1)∵抛物线y=ax2+x+2与x轴交于点A(4,0),
∴16a+×4+2=0,
解得a=﹣,
∴此抛物线解析式y=﹣x2+x+2,
化为顶点式y=﹣(x-1)2+
∴顶点坐标为(1,).
(2)∵y=﹣x2+x+2,
∴B(0,2),
∵A(4,0),
设直线AB的解析式为y=kx+b
将A、B两点坐标代入,得
解得:
∴直线AB:y=x+2,
设P(m,﹣m2+m+2),M(m,m+2),
∴PM=,
∵PM∥y轴,PQ∥x轴
∴PM⊥PQ
当0<m≤1时,PQ=2﹣2m,
∴=2﹣2m,
解得m=6﹣2或6+2(不符合题意舍去);
当1<m<4时,PQ=﹣2+2m,
∴=﹣2+2m,
解得m=2﹣2或﹣2﹣2(不符合题意舍去).
综上,m为6﹣2或2﹣2时,△PMQ为等腰直角三角形.
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【题目】如图,二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A(﹣1,0)、点B(3,0)、点C(4,y1),若点D(x2,y2)是抛物线上任意一点,有下列结论:
①二次函数y=ax2+bx+c的最小值为﹣4a;
②若﹣1≤x2≤4,则0≤y2≤5a;
③若y2>y1,则x2>4;
④一元二次方程cx2+bx+a=0的两个根为﹣1和
其中正确结论的是_____(填序号).
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【题目】小翔在如图1所示的场地上匀速跑步,他从点A出发,沿箭头所示方向经过点B跑到点C,共用时30秒.他的教练选择了一个固定的位置观察小翔的跑步过程.设小翔跑步的时间为t(单位:秒),他与教练的距离为y(单位:米),表示y与t的函数关系的图象大致如图2所示,则这个固定位置可能是图1中的( )
A. 点M B. 点N C. 点P D. 点Q
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【题目】为了解学生每天的睡眠情况,某初中学校从全校 800 名学生中随机抽取了 40 名学生,调查了他们平均每天的睡眠时间(单位: h) ,统计结果如下:
9,8,10.5,7,9,8,10,9.5,8,9,9.5,7.5,9.5,9,8.5,7.5,10,9.5,8,9,
7,9.5,8.5,9,7,9,9,7.5,8.5,8.5,9,8,7.5,9.5,10,9.5,8.5,9,8,9.
在对这些数据整理后,绘制了如下的统计图表:
睡眠时间分组统计表 睡眠时间分布情况
组别 | 睡眠时间分组 | 人数(频数) |
1 | 7≤t<8 | m |
2 | 8≤t<9 | 11 |
3 | 9≤t<10 | n |
4 | 10≤t<11 | 4 |
请根据以上信息,解答下列问题:
(1) m = , n = , a = , b = ;
(2)抽取的这 40 名学生平均每天睡眠时间的中位数落在 组(填组别) ;
(3)如果按照学校要求,学生平均每天的睡眠时间应不少于 9 h,请估计该校学生中睡眠时间符合要求的人数.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,点B在函数y=x图象上,点A在x轴的正半轴上,等腰直角三角形BCD的顶点C在AB上,点D在函数y=第一象限的图象上若△OAB与△BCD面积的差为2,则k的值为( )
A.8B.4C.2D.1
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【题目】如图,将Rt△ABC平移到△A'B'C'的位置,其中∠C=90°使得点C'与△ABC的内心重合,已知AC=4,BC=3,则阴影部分的面积为( )
A.B.C.D.
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【题目】某市水费采用阶梯收费制度,即:每月用水不超过15吨时,每吨需缴纳水费a元,每月用水量超过15吨时,超过15吨的部分按每吨提高b元缴纳下表是嘉琪家一至四月份用水量和缴纳水费情况.根据表格提供的数据,回答:
月份 | 一 | 二 | 三 | 四 |
月用水量(吨) | 14 | 18 | 16 | 13 |
水费(元) | 42 | 60 | 50 | 39 |
(1)a= 元;b= 元;
(2)求月缴纳水费p(元)与月用水量t(吨)之间的函数关系式;
(3)若嘉琪家五月和六月的月缴水费相差24元,求这两月用水量差的最小值.
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【题目】综合与探究
问题情境:
(1)如图1,两块等腰直角三角板△ABC和△ECD如图所示摆放,其中∠ACB=∠DCE=90°,点F,H,G分别是线段DE,AE,BD的中点,A,C,D和B,C,E分别共线,则FH和FG的数量关系是 ,位置关系是 .
合作探究:
(2)如图2,若将图1中的△DEC绕着点C顺时针旋转至A,C,E在一条直线上,其余条件不变,那么(1)中的结论还成立吗?若成立,请证明,若不成立,请说明理由.
(3)如图3,若将图1中的△DEC绕着点C顺时针旋转一个锐角,那么(1)中的结论是否还成立?若成立,请证明,若不成立,请说明理由.
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