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【题目】如图,二次函数yax2+bx+c的图象经过点A(10)、点B(30)、点C(4y1),若点D(x2y2)是抛物线上任意一点,有下列结论:

①二次函数yax2+bx+c的最小值为﹣4a

②若﹣1≤x2≤4,则0≤y2≤5a

③若y2y1,则x24

④一元二次方程cx2+bx+a0的两个根为﹣1

其中正确结论的是_____(填序号).

【答案】①④

【解析】

利用交点式写出抛物线解析式为yax22ax3a,配成顶点式得yax124a,则可对①进行判断;计算x4时,ya515a,则根据二次函数的性质可对②进行判断;利用对称性和二次函数的性质可对③进行判断;由于b=﹣2ac=﹣3a,则方程cx2+bx+a0化为﹣3ax22ax+a0,然后解方程可对④进行判断.

解:∵二次函数yax2+bx+c的图象经过点A(﹣10)、点B30),

∴抛物线解析式为yax+1)(x3),

yax22ax3a

yax124a

∴当x1时,二次函数有最小值﹣4a,所以①正确;

x4时,ya515a

∴当﹣1≤x2≤4,则﹣4a≤y2≤5a,所以②错误;

∵点C45a)关于直线x1的对称点为(﹣25a),

∴当y2y1,则x24x<﹣2,所以③错误;

b=﹣2ac=﹣3a

∴方程cx2+bx+a0化为﹣3ax22ax+a0

整理得3x2+2x10,解得x1=﹣1x2,所以④正确.

故答案为①④.

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