Question

【题目】如图，AB是⊙O的直径，过点A作⊙O的切线并在其上取一点C，连接OC交⊙O于点D，BD的延长线交AC于E，连接AD，

（1）求证：CD2＝CEAC；

（2）若AB＝4，AC＝4，求AE的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）2

【解析】

（1）通过证明△CDE∽△CAD可得结论．

（2）利用相似三角形的性质，勾股定理求出AC，CE即可解决问题．

（1）证明：∵AB是⊙O的直径，

∴∠ADB＝90°，

∴∠B+∠BAD＝90°，

∵AC为⊙O的切线，

∴BA⊥AC，

∴∠BAC＝90°，即∠BAD+∠CAD＝90°，

∴∠B＝∠CAD，

∵OB＝OD，

∴∠B＝∠ODB，

而∠ODB＝∠CDE，

∴∠B＝∠CDE，

∴∠CAD＝∠CDE，

而∠ECD＝∠DCA，

∴△CDE∽△CAD；

∴，

∴CD2＝CEAC．

（2）解：在Rt△AOC中，∵AB＝4，

∴OA＝2，AC＝4，

∴O＝，

∴CD＝OC﹣OD＝6﹣2＝4，

∵CD2＝CEAC，

∴CE＝2，

∴AE＝AC﹣CE＝4﹣2＝2．