Question

【题目】定义：如果一个点能与另外两个点构成直角三角形，则称这个点为另外两个点的勾股点．如矩形OBCD中，点C为O，B两点的勾股点,已知OD＝4,在DC上取点E,DE=8．

（1）如果点E是O，B两点的勾股点（点E不在点C）, 试求OB的长；

（2）如果OB=12，分别以OB,OD为坐标轴建立如图2的直角坐标系，在x轴上取点F(5，0)．在线段DC上取点P, 过点P的直线l∥y轴，交x轴于点Q．设DP=t．

①当点P在DE之间，以EF为直径的圆与直线l相切，试求t的值；

②当直线l上恰好有2点是E，F两点的勾股点时，试求相应t的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）10；（2）①4；②0＜t＜4或t=5或t=8或9＜t≤12

【解析】

（1）连接OE、BE．设OB=x，则EC=x-8．先依据勾股定理表示出OE2、BE2的值，再依据勾股定理的逆定理列方程求解即可；
（2）①过点F作FG⊥DC，垂足为G，过点M作MN∥DE．在△EFG中依据勾股定理求得EF的长，从而可求得MH的长，由梯形的中位线定理可求得MN的长，然后依据NH=NM-MH可求得NH的长，从而求得t的值；
②当直线l与圆M相离或直线l经过点E或直线l经过点F时，直线l上恰好存在两个点是E、F两点的勾股点．

解：（1）如图1所示，连接OE、BE．

设OB=x，则EC=x-8．
在△DOE中，OE2=DE2+OD2=42+82=80，BE2=CE2+CB2=42+（x-8）2．
∵E为点O和点B的勾股定理点，
∴OB2=OE2+BE2，即42+（x-8）2+80=x2．
解得：x=10．
∴OB=10．
（2）①过点F作FG⊥DC，垂足为G，过点M作MN∥DE．

∵DE=8，OF=5，DO=4，
∴GE=3，FG=4，MN=6.5．
∴EF==5．
∴MH=2.5．
∴HN=NM-MH=6.5-2.5=4．
∴t=4．
②如图3所示：当直线l与圆M相离时．过点E作EG⊥EF交PQ于点G，过点F作HF⊥EF，垂足为H．

∵∠GEF=90°，
∴△GEF为直角三角形．
∴G是E、F的一个勾股点．
同理点H也是E、F的一个勾股点．
∴当直线l与圆M相离时，直线l上恰好存在两个点是E、F两点的勾股点．
∴当0＜t＜4时，直线l上恰好存在两个点是E、F两点的勾股点．
同理：当直线l在圆M的右侧，直线l上恰好存在两个点是E、F两点的勾股点．
∴9＜t≤12．
如图4所示：当直线l经过点F时，直线l上恰好存在两个点是E、F两点的勾股点．

∵OF=5，
∴t=5．
如图5所示：当直线l经过点E时，直线l上恰好存在两个点是E、F两点的勾股点．

∵DE=8，
∴t=8．
综上所述当0＜t＜4或t=5或t=8或9＜t≤12时，直线l上恰好存在两个点是E、F两点的勾股点．