Question

【题目】已知抛物线y=ax2+bx+3经过A(3，0)，B(1，0)两点(如图1)，顶点为M.

(1)a、b的值；

(2)设抛物线与y轴的交点为Q(如图1)，直线y=2x+9与直线OM交于点D. 现将抛物线平移，保持顶点在直线OD上.当抛物线的顶点平移到D点时，Q点移至N点，求抛物线上的两点M、Q间所夹的曲线MQ扫过的区域的面积；

(3)设直线y=2x+9与y轴交于点C，与直线OM交于点D(如图2).现将抛物线平移，保持顶点在直线OD上.若平移的抛物线与射线CD(含端点C)没有公共点时，试探求其顶点的横坐标h的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）a=1，b=4；（2）MQ扫过的面积为；（3）或

【解析】

（1）将A、B两点的坐标代入抛物线的解析式中，即可求出待定系数的值．

（2）连接MQ、DN后，由图可以发现曲线MQ扫过的面积正好是MQND的面积；连接QD，则MQND的面积是两倍的△MQD的面积，所以这道题实际求的是△MQD的面积；由（1）的抛物线解析式，不难求出顶点M的坐标，联立直线OM和直线CD的解析式可以求出点D的坐标；以OQ为底，M、D两点的横坐标差的绝对值为高即可得△MQD的面积，则此题可求．

（3）在平移过程中，抛物线的开口方向和大小是不变的，即二次项系数不变；抛物线的顶点始终在直线OM上，根据直线OM的解析式（y=x）可表达出抛物线顶点的坐标（h，h），可据此先设出平移后的抛物线解析式；若求平移的抛物线与射线CD（含端点C）没有公共点时顶点横坐标的取值范围，那么就要考虑到两个关键位置：

①抛物线对称轴右侧部分经过C点时，抛物线顶点横坐标h的值；

②抛物线对称轴左侧部分与直线CD恰好有且只有一个交点时，h的值；

解：（1）将A（-3，0），B（-1，0）代入抛物线y=ax2+bx+3中，得：

，

解得：a=1、b=4．

（2）连接MQ、QD、DN，

由图形平移的性质知：QN∥MD，即四边形MQND是平行四边形；

由（1）知，抛物线的解析式：y=x2+4x+3=（x+2）2-1，则点M（-2，-1），

当x=0时，y=3，

∴Q（0，3）；

设直线OM的解析式为y=kx，

∴-2k=-1，

∴k=，

∴直线OM：y=x，联立直线y=-2x+9，得：

，

解得

．

则D（）；

曲线QM扫过的区域的面积：S=SMQND=2S△MQD；

（3）由于抛物线的顶点始终在y=x上，可设其坐标为（h，h），设平移后的抛物线解析式为y=（x-h）2+h；

①当平移后抛物线对称轴右侧部分经过点C（0，9）时，有：

h2+h=9，解得：h=（依题意，舍去正值）

②当平移后的抛物线与直线y=-2x+9只有一个交点时，依题意：

，

消去y，得：x2-（2h-2）x+h2+h-9=0，

则：△=（2h-2）2-4（h2+h-9）=-10h+40=0，解得：h=4，

结合图形，当平移的抛物线与射线CD（含端点C）没有公共点时，h＜或h＞4．