【题目】小明发现相机快门打开过程中,光圈大小变化如图1所示,于是他绘制了如图2所示的图形.图2中留个形状大小都相同的四边形围成一个圆的内接六边形和一个小正六边形,若PQ所在的直线经过点M,PB=5cm,小正六边形的面积为cm2,则该圆的半径为________cm.
【答案】8.
【解析】分析: 设两个正六边形的中心为O,连接OP,OB,过点O作OG⊥PM于点G,OH⊥AB于点H,如图所示:很容易证出三角形PMN是一个等边三角形,边长PM的长,,而且面积等于小正六边形的面积的, 故三角形PMN的面积很容易被求出,根据正六边形的性质及等腰三角形的三线和一可以得出PG的长,进而得出OG的长,,在Rt△OPG中,根据勾股定理得 OP的长,设OB为x,,根据正六边形的性质及等腰三角形的三线和一可以得出BH,OH的长,进而得出PH的长,在Rt△PHO中,根据勾股定理得关于x的方程,求解得出x的值,从而得出答案.
详解: 设两个正六边形的中心为O,连接OP,OB,过点O作OG⊥PM于点G,OH⊥AB于点H,如图所示:
很容易证出三角形PMN是一个等边三角形,边长PM=,而且面积等于小正六边形的面积的
,
故三角形PMN的面积为cm2,
∵OG⊥PM,且O是正六边形的中心,
∴PG=PM=
∴OG=,
在Rt△OPG中,根据勾股定理得 :OP2=OG2+PG2,即=OP2,
∴OP=7cm,
设OB为x,
∵OH⊥AB,且O是正六边形的中心,
∴BH=X,OH=
,
∴PH=5-x,
在Rt△PHO中,根据勾股定理得OP2=PH2+OH2,即;
解得:x1=8,x2=-3(舍)
故该圆的半径为8cm.
故答案为:8.
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【题目】“推进全科阅读,培育时代新人”.某学校为了更好地开展学生读书活动,随机调查了八年级50名学生最近一周的读书时间,统计数据如下表:
时间(小时) | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
人数 | 5 | 8 | 12 | 15 | 10 |
(1)写出这50名学生读书时间的众数、中位数、平均数;
(2)根据上述表格补全下面的条形统计图.
(3)学校欲从这50名学生中,随机抽取1名学生参加上级部门组织的读书活动,其中被抽到学生的读书时间不少于9小时的概率是多少?
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【题目】嘉嘉同学动手剪了如图①所示的正方形与长方形卡片若干张.
(1)他用1张1号、1张2号和2张3号卡片拼出一个新的图形(如图②).根据这个图形的面积关系写出一个你所熟悉的乘法公式,这个乘法公式是________.
(2)如果要拼成一个长为(a+2b),宽为(a+b)的大长方形,则需要1号卡片________张,2号卡片________张,3号卡片________张.
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【题目】我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形(古人称直角三角形为勾股形)分割成一个正方形和两对全等的直角三角形,得到一个恒等式.后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理,如图所示的矩形由两个这样的图形拼成,若a=3,b=4,则该矩形的面积为( )
A. 20 B. 24 C. D.
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【题目】如图,一块直角三角形的纸片,两直角边AC=6cm,BC=8cm,现将直角边AC沿直线AD折叠,使它落在斜边AB上,且与AE重合,则CD等于( ).
A. 2 cm B. 4 cm C. 3 cm D. 5 cm
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【题目】温州某企业安排65名工人生产甲、乙两种产品,每人每天生产2件甲或1件乙,甲产品每件可获利15元.根据市场需求和生产经验,乙产品每天产量不少于5件,当每天生产5件时,每件可获利120元,每增加1件,当天平均每件获利减少2元.设每天安排x人生产乙产品.
(1)根据信息填表
产品种类 | 每天工人数(人) | 每天产量(件) | 每件产品可获利润(元) |
甲 | 15 | ||
乙 |
(2)若每天生产甲产品可获得的利润比生产乙产品可获得的利润多550元,求每件乙产品可获得的利润.
(3)该企业在不增加工人的情况下,增加生产丙产品,要求每天甲、丙两种产品的产量相等.已知每人每天可生产1件丙(每人每天只能生产一件产品),丙产品每件可获利30元,求每天生产三种产品可获得的总利润W(元)的最大值及相应的x值.
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【题目】如图,矩形ABCD中,O为AC的中点,过点O的直线分别与AB,CD交于点E,F,连接BF交AC于点M,连接DE,BO.若∠COB=60°,FO=FC,则下列结论:①FB⊥OC,OM=CM;②△EOB≌△CMB;③四边形EBFD是菱形;④MB∶OE=3∶2.其中正确结论的个数是( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
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