Question

11．如图，在矩形ABCD中，AB=2，AD=1，点P在线段AB上运动，现将纸片折叠，使点D与点P重台，得折痕EF（点E、F为折痕与矩形边的交点），再将纸片还原设四边形EPFD的面积为S，当四边形EPFD为菱形时，请写出S的取值范围1≤S≤$\frac{5}{4}$．

Answer 1

分析 由要使四边形EPFD为菱形，则需DE=EP=FP=DF，可得当点E与点A重合时，AP最小；当点P与点B重合时，AP最大，继而求得四边形EPFD为菱形的AP的取值范围，进而得到S的取值范围．

解答 解：∵要使四边形EPFD为菱形，则需DE=EP=FP=DF，
∴如图1：当点E与点A重合时，AP=AD=1，此时AP最小；
此时，S=AP²=1．
如图2：当点P与B重合时，AP=AB=2，此时AP最大；
此时，设AE=x，则EP=DE=2-x，根据勾股定理得：1²+x²=（2-x）²，
解得：x=$\frac{3}{4}$，
∴EP=$\frac{5}{4}$，
∴S=1×$\frac{5}{4}$=$\frac{5}{4}$．
∴四边形EPFD为菱形时，S的取值范围：1≤S≤$\frac{5}{4}$．
故答案为：1≤S≤$\frac{5}{4}$．

点评 此题考查了菱形的判定与性质、折叠的性质、矩形的性质以及面积的计算．此题难度适中，注意掌握分类讨论思想与数形结合思想的应用．