Question

19．如图所示的平面直角坐标系xOy，点A在y轴正半轴上运动，点B在第一象限，AB⊥y轴，AB=4，在AB的延长点上取一点C，过点C作直线交过点B的双曲线于点D，交x轴正半轴于点E，且CD=DE，设OA=t，四边形OACE的面积为S．
（1）求出S与t的函数关系式；
（2）当t=6时，直接写出线段CE长度的取值范围．

Answer 1

分析 （1）过D作DF⊥OA于F，得到DF是梯形的中位线，根据反比例函数图形上点的坐标特征求出D的坐标，即得DF的长度，根据梯形的面积公式求得结果．
（2）当O与E重合时，如图2，由（1）知DF=8，根据三角形的中位线的性质得到AC，根据勾股定理求得CE，当CE⊥x轴时，CE=OA=6，于是求得结果．

解答 解：（1）过D作DF⊥OA于F，
∵AB⊥y轴，AB=4，OA=t，
∴AC∥DF∥x轴，B（4，t），
∵CD=DE，
∴AF=OF，
设反比例函数的解析式为：y=$\frac{k}{x}$，
∴t=$\frac{k}{4}$，
∴k=4t，
∴反比例函数的解析式为：y=$\frac{4t}{x}$，
∴当y=$\frac{1}{2}$t时，x=8，
∴D（8，$\frac{1}{2}t$），
∴S=$\frac{1}{2}•DF•OA$=$\frac{1}{2}$×8×t=4t；

（2）当O与E重合时，如图2，由（1）知DF=8，
∴AC=16，
∵OA=6，
∴OE=$\sqrt{{AC}^{2}{+OA}^{2}}$=2$\sqrt{73}$，
当CE⊥x轴时，CE=OA=6，
∴当t=6时，6≤CE≤2$\sqrt{73}$．

点评 本题考查了在平面直角坐标系中确定点的坐标，梯形的面积，梯形和三角形的中位线的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．