Question

16．如图，抛物线y=-$\frac{5}{4}$x²+bx+c与y轴交于点A（0，1），过点A的直线与抛物线交于另一点B（3，$\frac{5}{2}$），过点B作BC⊥x轴，垂足为C．点P是x轴正半轴上的一动点，过点P作PN⊥x轴，交直线AB于点M，交抛物线于点N，设OP的长度为m．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点P在线段OC上（不与点O、C重合）时，试用含m的代数式表示线段PM的长度；
（3）连结CM，BN，当m为何值时，以B、C、M、N为顶点的四边形为平行四边形？

Answer 1

分析 （1）直接把AB两点的坐标代入抛物线y=-$\frac{5}{4}$x²+bx+c，求出b、c的值即可得出抛物线的解析式；
（2）利用待定系数法求出直线AB的解析式，再根据P、M两点的坐标即可得出PM的长；
（3）根据点N在抛物线上可知N（m，-$\frac{5}{4}$m²+$\frac{17}{4}$m+1），再由MN∥BC可知当MN=BC时，四边形BCMN为平行四边形，分点P在线段OC上与点P在线段OC的延长线上两种情况进行讨论即可．

解答 解：（1）∵抛物线y=-$\frac{5}{4}$x²+bx+c经过A（0，1）和点B（3，$\frac{5}{2}$），
∴$\left\{\begin{array}{l}c=1\\-\frac{5}{4}×9+3b+1=\frac{5}{2}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}c=1\\ b=\frac{17}{4}\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式为y=-$\frac{5}{4}$x²+$\frac{17}{4}$x+1；

（2）设直线AB的解析式为y=kx+b（k≠0），
∵A（0，1），B（3，$\frac{5}{2}$），
∴$\left\{\begin{array}{l}1=b\\ \frac{5}{2}=3k+b\end{array}\right.$，
∴直线AB的解析式为y=$\frac{1}{2}$x+1，
∵PN⊥x轴，交直线AB于点M，交抛物线于点N，OP=m，
∴P（m，0），M（m，$\frac{1}{2}$m+1），
∴PM=$\frac{1}{2}$m+1；

（3）由题意可得：N（m，-$\frac{5}{4}$m²+$\frac{17}{4}$m+1），
∵MN∥BC，
∴当MN=BC时，四边形BCMN为平行四边形，
当点P在线段OC上时，MN=-$\frac{5}{4}$m²+$\frac{15}{4}$m，
又∵BC=$\frac{5}{2}$，
∴-$\frac{5}{4}$m²+$\frac{15}{4}$m=$\frac{5}{2}$，
解得m₁=1，m₂=2；
当点P在线段OC的延长线上时，MN=$\frac{5}{4}$m²-$\frac{15}{4}$m，
∴$\frac{5}{4}$m²-$\frac{15}{4}$m=$\frac{5}{2}$，
解得 m₁=$\frac{3-\sqrt{17}}{2}$（不合题意，舍去），m₂=$\frac{3+\sqrt{17}}{2}$，
综上所述，当m的值为1或2或$\frac{3+\sqrt{17}}{2}$时，以B、C、M、N为顶点的四边形为平行四边形．

点评 本题考查的是二次函数综合题，涉及到利用待定系数法求二次函数的解析式，平行四边形的判定与性质等知识，在解答（3）时要注意进行分类讨论．