Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，顶点为（3，4）的抛物线交y轴于A点，交x轴于B、C两点（点B在点C的左侧），已知A点坐标为（0，﹣5）．

（1）求此抛物线的解析式；
（2）过点B作线段AB的垂线交抛物线于点D，如果以点C为圆心的圆与直线BD相切，请判断抛物线的对称轴l与⊙C有什么位置关系，并给出证明；
（3）在抛物线上是否存在一点P，使△ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：设抛物线解析式为：y=a（x﹣3）2+4，

将A（0，﹣5）代入求得：a=﹣1，

∴抛物线解析式为y=﹣（x﹣3）2+4=﹣x2+6x﹣5

（2）

解：抛物线的对称轴l与⊙C相离．证明：

令y=0，即﹣x2+6x﹣5=0，得x=1或x=5，

∴B（1，0），C（5，0）．

如答图①所示，

设切点为E，连接CE，

由题意易证Rt△ABO∽Rt△BCE，

∴ ，

即 ，

求得⊙C的半径CE= = = ；

而点C到对称轴x=3的距离为2，2＞ ，

∴抛物线的对称轴l与⊙C相离

（3）

解：存在．理由如下：

有两种情况：

（i）如答图②所示，

点P在x轴上方．

∵A（0，﹣5），C（5，0），

∴△AOC为等腰直角三角形，∠OCA=45°；

∵PC⊥AC，∴∠PCO=45°．

过点P作PF⊥x轴于点F，则△PCF为等腰直角三角形．

设点P坐标为（m，n），则有OF=m，PF=CF=n，

OC=OF+CF=m+n=5 ①

又点P在抛物线上，

∴n=﹣m2+6m﹣5 ②

联立①②式，解得：m=2或m=5．

当m=5时，点P与点C重合，故舍去，

∴m=2，

∴n=3，

∴点P坐标为（2，3）；

（ii）如答图③所示，

点P在x轴下方．

∵A（0，﹣5），C（5，0），

∴△AOC为等腰直角三角形，∠OAC=45°；

过点P作PF⊥y轴于点F，

∵PA⊥AC，

∴∠PAF=45°，即△PAF为等腰直角三角形．

设点P坐标为（m，n），则有PF=AF=m，OF=﹣n=OA+AF=5+m，

∴m+n=﹣5 ①

又点P在抛物线上，

∴n=﹣m2+6m﹣5 ②

联立①②式，解得：m=0或m=7．

当m=0时，点P与原点重合，故舍去，

∴m=7，

∴n=﹣12，

∴点P坐标为（7，﹣12）．

综上所述，存在点P，使△ACP是以AC为直角边的直角三角形．点P的坐标为（2，3）或（7，﹣12）．

【解析】（1）由顶点式，利用待定系数法求出抛物线的解析式；（2）判断直线与圆的位置关系，关键是分析圆的半径r和圆心到直线距离d之间的大小关系．由题意可知d=2，由相似三角形求得r= ，因为2＞ ，所以可判定抛物线的对称轴l与⊙C相离；（3）本问是存在性问题．点P有两种情况，分别位于x轴上方与下方，需要分类讨论，注意不要漏解；在求点P坐标时，需要充分利用几何图形（等腰直角三角形）的性质，以及抛物线上点的坐标特征．
【考点精析】认真审题，首先需要了解二次函数的性质(增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小)．