Question

如图，在平面直角坐标系中，⊙C于x轴交于MN两点，AN是⊙C的直径，经过点A的直线交X轴于点B，连接AM，已知点C的坐标为（0，-

3

），直线AB的函数解析式为y=-

3

x-5

3

：
（1）点B的坐标和AM的长；
（2）求点A的坐标和⊙C的半径．
（3）求证：AB是⊙C的切线．

Answer 1

分析：（1）在一次函数的解析式中，令y=0，即可求得B的横坐标，则B的坐标可以得到；易证OC是△AMN的中位线，则AM的长度可以求得；
（2）已知AM的长度，即已知A的纵坐标，代入一次函数的解析式即可求得横坐标，在直角△OMC中，利用勾股定理即可求得半径；
（3）分别求得NB、AB、AN的长度，利用勾股定理的逆定理即可证得AB⊥AN，则可以证得AB是⊙C的切线．

解答：解：（1）在y=-

3

x-5

3

中，令y=0，则y=-

3

x-5

3

=0，解得：x=-5，则B的坐标是：（-5，0）．
∵MN⊥OC，
∴OM=ON，
又∵AC=CN
∴AM=2OC=2

3

；

（2）∵AM=2

3

；
∴A的纵坐标是：-2

3

，
在y=-

3

x-5

3

中，把y=-2

3

代入得：x=-1，
则A的坐标是（-3，-2

3

）．
又∵AN是⊙C的直径，
∴∠AMN=90°
∴OM=3，
则在直角△OCM中，CM=

OM2+OC2

=2

3

，即圆的半径是2

3

；

（3）在直角△ABM中，AB²=AM²+BM²=（2

3

）²+（OB-OM）²=12+（5-3）²=12+4=16，则AB=

16

=4，
BN=OB+ON=OB+OM=5+3=8，
AN=2AC=2CM=4

3

，
∵4²+（4

3

）²=8²，即AB²+AN²=BN²，
∴△ABN是直角三角形，∠BAN=90°，
∴AB⊥AN，
∴AB是⊙C的切线．

点评：本题考查了一次函数的性质，勾股定理以及勾股定理的逆定理，切线的判定，正确求得半径长是关键．