Question

8．问题情境：
在△ABC中，∠B=∠C=50°，点D是BC的中点，以D为顶点作∠MDN=50°
（1）如图1，射线DN经过点A，DM交AC边于点E，不添加辅助线，请直接写出图1中所有与△ADE相似的三角形．
操作探究：
（2）如图2，将（1）中的∠MDN从图1中的位置开始，绕点D按逆时针方向旋转，射线DM、DN分别交线段AC，AB于点E，F（点E与点A不重合，旋转角小于50°），试说明△BFD∽△CDE；
拓展应用：
（3）小颖在解决上述问题后发现图2中的△DEF与△BDF相似．
①请你帮她证明这一结论；
②当（2）中的旋转角为多少度时，△DEF与△ABC相似？（直接回答即可）

Answer 1

分析 （1）如图1，易求得∠BAD=∠DAC=∠EDC=40°，再结合∠B=∠C=∠ADE=50°，即可得到△ADE∽△ABD∽△ACD∽△DCE；
（2）如图2，根据∠EDF=∠B及三角形外角性质可得∠BFD=∠CDE，再根据∠B=∠C即可得到△BFD∽△CDE；
（3）①如图2，由（2）得△BFD∽△CDE，则有$\frac{BF}{CD}$=$\frac{DF}{ED}$，由D是BC的中点可得$\frac{BF}{BD}$=$\frac{DF}{ED}$．再根据∠B=∠EDF即可得到△BDF∽△DEF；
②由∠B=∠C=50°可得∠BAC=80°，AB=AC，再由BD=CD可得AD⊥BC．若△DEF与△ABC相似，由△BDF∽△DEF可得△BDF与△ABC相似，从而得到∠BDF=∠BAC=80°，或∠BDF=∠C=50°，即可解决问题．

解答 （1）解：如图1，

与△ADE相似的有△ABD、△ACD、△DCE．
提示：易求得∠BAD=∠DAC=∠EDC=40°，
又∵∠B=∠C=∠ADE=50°，
∴△ADE∽△ABD∽△ACD∽△DCE；

（2）证明：如图2，

∵∠FDC是△BFD的一个外角，
∴∠FDC=∠B+∠BFD．
∵∠FDC=∠FDE+∠EDC，∠EDF=∠B=50°，
∴∠BFD=∠CDE．
∵∠B=∠C=50°，
∴△BFD∽△CDE；

（3）①证明：如图2，

由（2）得△BFD∽△CDE，
∴$\frac{BF}{CD}$=$\frac{DF}{ED}$．
∵D是BC的中点，
∴BD=CD，
∴$\frac{BF}{BD}$=$\frac{DF}{ED}$．
又∵∠B=∠EDF=50°，
∴△BDF∽△DEF．
②10°或40°．
提示：解：连接AD，如图3，

∵∠B=∠C=50°，
∴∠BAC=80°，AB=AC．
∵BD=CD，
∴AD⊥BC．
若△DEF与△ABC相似，
∵△BDF∽△DEF，
∴△BDF与△ABC相似，
∴∠BDF=∠BAC=80°，或∠BDF=∠C=50°，
∴∠ADF=90°-80°=10°，或∠ADF=90°-50°=40°，
∴当（2）中的旋转角为10°或40°时，△DEF与△ABC相似．

点评 本题主要考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形的外角性质、三角形内角和定理等知识，并考查了K型相似（若∠B=∠C=∠EDF，则△BDF∽△CED）及其推论（若△BDF∽△CED，BD=CD，则△BDF∽△CED∽△DEF），应熟练掌握．