Question

19．如图①，已知△ABC的三个顶点坐标分别为A（-1，0）、B（3，0）、C（0，3），直线BE交y轴正半轴于点E．
（1）求经过A、B、C三点的抛物线解析式及顶点D的坐标；
（2）连接BD、CD，设∠DBO=α，∠EBO=β，若tan （α-β）=1，求点E的坐标；
（3）如图②，在（2）的条件下，动点M从点C出发以每秒$\sqrt{2}$个单位的速度在直线BC上移动（不考虑点M与点C、B重合的情况），点N为抛物线上一点，设点M移动的时间为t秒，在点M移动的过程中，以E、C、M、N四个点为顶点的四边形能否成为平行四边形？若能，直接写出所有满足条件的t值及点M的个数；若不能，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）用待定系数法求出求出抛物线解析式，再配成顶点式，求出顶点坐标；
（2）方法一：先求出∠DBE=45°，再构造出等腰直角三角形，由两腰相等建立方程求出点E的坐标；
方法二：先判断出∠BCD=90°，进而得出△OBE∽△CBD，即可求出OE即可得出结论；
（3）分两种情况讨论计算①CE为平行四边形的边，用MN=CE建立方程求出点M坐标，从而求出时间t，
②利用平行四边形的对角线互相平分，借助中点坐标建立方程组求出点M坐标即可．

解答 解：（1）经过A（-1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点的抛物线，
∴设抛物线解析式为y=a（x+1）（x-3），
∵点C（0，3）在抛物线上，
∴3=-3a，
∴a=-1
∴抛物线解析式为y=-（x+1）（x-3）=-（x-1）²+4，
∴抛物线的顶点坐标为D（1，4），
（2）方法一：∵tan （α-β）=1，
∴α-β=45°，
∵∠DBO=α，∠EBO=β，
∴∠DBE=45°，
如图1，

过点E作EF⊥BD于F，
∴EF=BF，
∵B（3，0），D（1，4），
∴直线BD解析式为y=-2x+6①，
设点E（0，b），
∵EF⊥BD，
∴直线EF解析式为y=$\frac{1}{2}$x+b②，
联立①②解方程组得，x=$\frac{2}{5}（6-b）$，y=$\frac{2}{5}$（2b+3），
∴F（$\frac{2}{5}（6-b）$，$\frac{2}{5}$（2b+3）），
∴EF²=[$\frac{2}{5}$（6-B）]²+[$\frac{2}{5}$（2b+3）-b]²=$\frac{1}{5}$（6-b）²，FB²=[$\frac{2}{5}（6-b）$-3]²+[$\frac{2}{5}$（2b+3）]²=[$\frac{1}{5}$（2b+3）]²，
∵EF=FB，
∴EF²=FB²，
∴$\frac{1}{5}$（6-b）²=[$\frac{1}{5}$（2b+3）]²，
∴b=-9（舍）或b=1，
∴E（0，1），
方法二、∵tan （α-β）=1，
∴α-β=45°，
∵∠DBO=α，∠EBO=β，
∴∠DBE=45°，
∵C（0，3），B（3，0），
∴OB=OC，
∴∠OBC=45°，
∴∠CBD=∠OBE，
∵B（3，0），C（0，3），D（1，4），
∴OB=3，BC²=18，CD²=2，BD²=20，
∴BC²+CD²=BD²，
∴△BCD是直角三角形，
∴∠BCD=90°=∠BOE，
∵∠CBD=∠OBE，
∴△OBE∽△CBD，
∴$\frac{OE}{CD}=\frac{OB}{BC}$，
∴$\frac{OE}{\sqrt{2}}=\frac{3}{3\sqrt{2}}$，
∴OE=1，
∴E（0，1），

（3）能，
理由：∵B（3，0），C（0，3），
∴直线BC解析式为y=-x+3，
设点M（m，-m+3），
∵E、C、M、N四个点为顶点的四边形为平行四边形，
∴分CE为边和CE为对角线进行计算，
①如图2，
当CE是平行四边形的边时，MN∥CE，MN=CE，
过M作MN∥CE交抛物线于N，
∵点N在抛物线上，
∴N（m，-m²+2m+3），
∴MN=|-m²+2m+3-（-m+3）|=|m²-3m|，
∵C（0，3），E（0，1），
∴CE=2，
∵MN=CE，
∴|m²-3m|=2，
∴m=$\frac{3±\sqrt{17}}{2}$或m=1或m=2，
∴M（$\frac{3+\sqrt{17}}{2}$，$\frac{3-\sqrt{17}}{2}$）或（$\frac{3-\sqrt{17}}{2}$，$\frac{3+\sqrt{17}}{2}$）或（1，2）或（2，1）；
∵C（0，3）
当M（$\frac{3+\sqrt{17}}{2}$，$\frac{3-\sqrt{17}}{2}$）时，CM=$\sqrt{2}×\frac{3+\sqrt{17}}{2}$，
∴t=$\frac{CM}{\sqrt{2}}$=$\frac{3+\sqrt{17}}{2}$，
当M（$\frac{3-\sqrt{17}}{2}$，$\frac{3+\sqrt{17}}{2}$）时，
同理：t=$\frac{\sqrt{17}-3}{2}$，
当M（1，2）时，CM=$\sqrt{2}$，
∴t=$\sqrt{2}÷\sqrt{2}=1$，
当M（2，1）时，CM=2$\sqrt{2}$，
∴t=2$\sqrt{2}÷\sqrt{2}$=2，
②当CE是平行四边形的对角线时，MN与CE互相平分，
∵C（0，3），E（0，1），
∴线段CE的中点坐标为（0，2），
∵M（m，-m+3），
∴CM=$\sqrt{{m}^{2}+（-m+3-3）^{2}}$=$\sqrt{2}$|m|，
∴t=$\sqrt{2}$|m|$÷\sqrt{2}$=|m|
∵点N在抛物线y=-x²+2x+3上，
设点N（n，-n²+2n+3），
利用中点坐标得，$\frac{m+n}{2}=0$，$\frac{-m+3+（-{n}^{2}+2n+3）}{2}$=2，
∴$\left\{\begin{array}{l}{m=-\frac{3+\sqrt{17}}{2}}\\{n=\frac{3+\sqrt{17}}{2}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{m=-\frac{3-\sqrt{17}}{2}}\\{n=\frac{3-\sqrt{17}}{2}}\end{array}\right.$，
∴M（-$\frac{3+\sqrt{17}}{2}$，$\frac{9+\sqrt{17}}{2}$）或（-$\frac{3-\sqrt{17}}{2}$，$\frac{9-\sqrt{17}}{2}$），
当M（-$\frac{3+\sqrt{17}}{2}$，$\frac{9+\sqrt{17}}{2}$）时，
∴t=$\frac{3+\sqrt{17}}{2}$
当M（-$\frac{3-\sqrt{17}}{2}$，$\frac{9-\sqrt{17}}{2}$）时，
∴t=$\frac{\sqrt{17}-3}{2}$；
即：满足条件的t的值为$\frac{3+\sqrt{17}}{2}$或$\frac{\sqrt{17}-3}{2}$或1或2．点M共有6个．

点评 此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，配方法，构造直角三角形，两点间的距离公式，平行四边形的性质，中点坐标，绝对值方程，构造直角三角形是解本题的关键，是一道中上难度的中考常考题，计算量较大．