Question

20．如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆上，过点C的切线交BA的延长线于点D，CD=CB，CE∥AB交半圆于点E．
（1）求∠D的度数；
（2）求证：以点C，O，B，E为顶点的四边形是菱形．

Answer 1

分析 （1）连接AC，根据切线的性质以及等腰三角形的性质得出∠D=∠ACD=∠ABC，根据圆周角定理得出∠ACB=90°，然后根据三角形内角和定理即可求得∠D的度数；
（2）连接OC、BE，先证得△AOC是等边三角形，然后证得四边形COBE是平行四边形即可证得结论．

解答 （1）解：连接AC，
∵CD是⊙O的切线，
∴∠ACD=∠ABC，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∵CD=CB，
∴∠D=∠ABC，
∴∠D=∠ACD=∠ABC，
∵∠D+∠ACD+∠ABC+∠ACB=90°，
∴∠D=30°；
（2）证明：连接OC、BE，
∵∠D=∠ACD=30°，
∴∠CAB=60°，
∵OA=OC，
∴△AOC是等边三角形，
∴AC=OC，∠AOC=60°，
∵CE∥AB，
∴AC=EB，
∴四边形ACEB是等腰梯形，OC=BE，
∴∠CAB=∠EBA=60°，
∴∠AOC=∠EBA=60°，
∴OC∥BE，
∴四边形COBE是平行四边形，
∵OC=OB，
∴以点C，O，B，E为顶点的四边形是菱形．

点评 本题考查了切线的性质，圆周角定理，等腰梯形的判定和性质，菱形的判定等，作出辅助线构建直角三角形和等边三角形是解题的关键．