Question

【题目】如图，在矩形ABCD中，E是BC的中点，将△ABE沿AE折叠后得到△AFE，点F在矩形ABCD内部，延长AF交CD于点G．
（1）猜想线段GF与GC有何数量关系？并证明你的结论；
（2）若AB=3，AD=4，求线段GC的长．

Answer 1

【答案】
（1）解：GF=GC．

理由如下：连接GE，

∵E是BC的中点，

∴BE=EC，

∵△ABE沿AE折叠后得到△AFE，

∴BE=EF，

∴EF=EC，

∵在矩形ABCD中，

∴∠C=90°，

∴∠EFG=90°，

∵在Rt△GFE和Rt△GCE中，

，

∴Rt△GFE≌Rt△GCE（HL），

∴GF=GC

（2）解：设GC=x，则AG=3+x，DG=3﹣x，

在Rt△ADG中，42+（3﹣x）2=（3+x）2，

解得x= ．

【解析】（1）连接GE，根据点E是BC的中点以及翻折的性质可以求出BE=EF=EC，然后利用“HL”证明△GFE和△GCE全等，根据全等三角形对应边相等即可得证；（2）设GC=x，表示出AG、DG，然后在Rt△ADG中，利用勾股定理列式进行计算即可得解．
【考点精析】解答此题的关键在于理解勾股定理的概念的相关知识，掌握直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2，以及对矩形的性质的理解，了解矩形的四个角都是直角，矩形的对角线相等．