Question

【题目】某商店计划一次购进两种型号的手机共110部，销售一部A型手机比销售一部B型手机获得的利润多50元，销售相同数量的A型手机和B型手机获得的利润分别为3000元和2000元，其中A型手机的进货量不超过B型手机的2倍，且商店最多购进B型手机50台．

（1）求每部A型手机和B型手机的销售利润分别为多少元？

（2）设购进B型手机n部，销售手机的总利润为y元，怎么进货才能使销售总利润最大？

（3）实际进货时，厂家对B型手机出厂价下调m（30＜m＜70）元．若商店保持两种手机的售价不变，请设计出手机销售总利润最大的进货方案．

Answer 1

【答案】（1）每部A型手机的销售利润为150元，每部B型手机的销售利润为100元；

（2）购进A型手机73部、B型手机37部时，才能使销售总利润最大；

（3）购进A型手机60部、B型手机50部时销售总利润最大．

【解析】

（1）设每部A型手机的销售利润为x元，每部B型手机的销售利润为y元，根据题意列出方程组求解；
（2）据题意得，y=A型手机的利润+B型手机的利润=-50n+16500，利用不等式求出n的范围，又因为y=-50x+16500是单调递减函数，所以n取37，y取最大值；
（3）据题意得，y=150（110-n）+（100+m）n，即y=（m-50）n+16500，分三种情况讨论，①当30＜m＜50时，y随n的增大而减小，②m=50时，m-50=0，y=16500，③当50＜m＜70时，m-50＞0，y随x的增大而增大，分别进行求解．

解：（1）设每部A型手机的销售利润为x元，每部B型手机的销售利润为y元，

根据题意，得： ，

解得： ，

答：每部A型手机的销售利润为150元，每部B型手机的销售利润为100元；

（2）设购进B型手机n部，则购进A型手机（110﹣n）部，

则y＝150（110﹣n）+100n＝﹣50n+16500，

其中，，即，

∴y关于n的函数关系式为y＝﹣50n+16500 （）；

∵，

∴一次函数y随n的增大而减小，

∵，且n为整数，

∴当n＝37时，y取得最大值，最大值为（元），

∴（台）

答：购进A型手机73部、B型手机37部时，才能使销售总利润最大；

（3）设购进B型手机n部，则购进A型手机（110﹣n）部，

根据题意，得：，

其中，（n为整数），

①当30＜m＜50时，y随n的增大而减小，

∴当n＝37时，y取得最大值，

即购进A型手机73部、B型手机37部时销售总利润最大；

②当m＝50时，m﹣50＝0，y＝16500，

即商店购进B型电脑数量满足的整数时，均获得最大利润；

③当50＜m＜70时，y随n的增大而增大，

∴当n＝50时，y取得最大值，

即购进A型手机60部、B型手机50部时销售总利润最大．