Question

15．已知：如图，在△ABC中，AB=20，BC=16，AC=8，点D、E分别在边AB、AC上，且AD=2，AE=5，DE与BC的延长线相交于点F．求△CEF的各边长．

Answer 1

分析 作DH∥BC交AC于H，如图，由于$\frac{AD}{AC}$=$\frac{AE}{AB}$=$\frac{1}{4}$，∠DAE=∠CAB，则根据相似三角形的判定可得△ADE∽△ACB，利用相似比可计算出DE=4，再根据平行线分线段成比例定理，由DH∥BC得$\frac{AH}{AC}$=$\frac{DH}{BC}$=$\frac{AD}{AB}$，则可计算出AH=$\frac{4}{5}$，DH=$\frac{8}{5}$，则HE=AE-AH=$\frac{21}{5}$，CE=AC-AE=3，然后由DH∥CF得到$\frac{DE}{EF}$=$\frac{DH}{CF}$=$\frac{EH}{EC}$，则可计算出EF=$\frac{20}{7}$，CF=$\frac{8}{7}$．

解答 解：作DH∥BC交AC于H，如图，
∵AD=2，AE=5，AB=20，AC=8，
∴$\frac{AD}{AC}$=$\frac{AE}{AB}$=$\frac{1}{4}$，
而∠DAE=∠CAB，
∴△ADE∽△ACB，
∴$\frac{DE}{BC}$=$\frac{AD}{AC}$，即$\frac{DE}{16}$=$\frac{2}{8}$，
∴DE=4，
∵DH∥BC，
∴$\frac{AH}{AC}$=$\frac{DH}{BC}$=$\frac{AD}{AB}$，即$\frac{AH}{8}$=$\frac{DH}{16}$=$\frac{2}{20}$，解得AH=$\frac{4}{5}$，DH=$\frac{8}{5}$，
∴HE=AE-AH=5-$\frac{4}{5}$=$\frac{21}{5}$，
而CE=AC-AE=8-5=3，
∵DH∥CF，
∴$\frac{DE}{EF}$=$\frac{DH}{CF}$=$\frac{EH}{EC}$，即$\frac{4}{EF}$=$\frac{\frac{8}{5}}{CF}$=$\frac{\frac{21}{5}}{3}$，
∴EF=$\frac{20}{7}$，CF=$\frac{8}{7}$．
答：△CEF中EC=3，EF=$\frac{20}{7}$，CF=$\frac{8}{7}$．

点评 本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．也考查了相似三角形的判定与性质．