Question

18．如图，△ABC是边长为2的等边三角形，D是AB边上的一点，把线段CD绕点C顺时针旋转60°得到线段CE，连接AE．
（1）求证：AE∥BC；
（2）当点D是AB的中点时，CE的长为$\sqrt{3}$；
（3）当四边形ABCE是平行四边形时，CE的长为2．

Answer 1

分析 （1）利用等边三角形的性质得AC=BC，∠B=∠ACB=60°，再根据旋转的性质得CD=CE，∠DCE=60°，则∠BCD=∠ACE，于是可根据“SAS”判断△BCD≌△ACE，得到∠B=∠CAE=60°，所以∠CAE=∠ACB，根据平行线的判定即可得到AE∥BC；
（2）利用等边三角形的性质得CD⊥BD，BD=1，则根据勾股定理可计算出CD=$\sqrt{3}$，然后利用旋转得性质有CE=CD=$\sqrt{3}$；
（3）根据平行四边形的性质求解．

解答 （1）证明：∵△ABC为等边三角形，
∴AC=BC，∠B=∠ACB=60°，
∵线段CD绕点C顺时针旋转60°得到线段CE，
∴CD=CE，∠DCE=60°，
∴∠ACB-∠ACD=∠DCE-∠ACD，即∠BCD=∠ACE，
在△BCD和△ACE中
$\left\{\begin{array}{l}{BC=AC}\\{∠BCD=∠ACE}\\{CD=CE}\end{array}\right.$，
∴△BCD≌△ACE，
∴∠B=∠CAE=60°，
∴∠CAE=∠ACB=60°，
∴AE∥BC；
（2）解：∵△ABC为边长为2的等边三角形，点D是AB的中点，
∴CD⊥BD，BD=1，
在Rt△BDC中，CD=$\sqrt{B{C}^{2}-B{D}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}-{1}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
∴CE=CD=$\sqrt{3}$；
（3）解：∵四边形ABCE是平行四边形时，
∴CE=AB=2．
故答案为$\sqrt{3}$，2．

点评 本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形和平行四边形的性质．