Question

9．如图，菱形ABCD中，AB=2，∠C=60°，我们把菱形ABCD的对称中心O称作菱形的中心，菱形ABCD在直线L上向右作无滑动的翻滚，每绕着一个顶点旋转60°叫做一次操作，则经过2013次这样的操作菱形中心O所经过的路径总长为（　　）

• A． $\frac{{671（\sqrt{3}+1）}}{3}$π
• B． $\frac{{671（2\sqrt{3}+1）}}{2}$π
• C． $\frac{{671（2\sqrt{3}+1）}}{3}$π
• D． $\frac{{1342\sqrt{3}}}{3}$π

Answer 1

分析 从图中可以看出，第一次旋转是以点A为圆心，那么菱形中心旋转的半径就是OA，解直角三角形可求出OA的长，圆心角是60°．第二次还是以点A为圆心，那么菱形中心旋转的半径就是OA，圆心角是60°．第三次就是以点B为旋转中心，OB为半径，旋转的圆心角为60度．旋转到此菱形就又回到了原图．故这样旋转3n次，就是这样的n个弧长的总长，依此计算即可得，进而得出经过2013（n为正整数）次这样的操作菱形中心O所经过的路径总长．

解答 解：∵菱形ABCD中，AB=2，∠C=60°，
∴△ABD是等边三角形，
BO=DO=1，
AO=$\sqrt{{AD}^{2}-{DO}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
第一次旋转的弧长=$\frac{60π×\sqrt{3}}{180}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$π，
∵第一、二次旋转的弧长和=$\frac{60π×\sqrt{3}}{180}$+$\frac{60π×\sqrt{3}}{180}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$π，
第三次旋转的弧长为：$\frac{60π×1}{180}$=$\frac{π}{3}$，
∵3n÷3=n，
∴经过3n（n为正整数）次这样的操作菱形中心O所经过的路径总长为：n×（$\frac{2\sqrt{3}}{3}$π+$\frac{π}{3}$）=$\frac{2\sqrt{3}+1}{3}$nπ．
∵2013÷3=671，
∴经过2013次这样的操作菱形中心O所经过的路径总长=$\frac{671（2\sqrt{3}+1）}{3}$π．
故选C．

点评 本题主要考查了弧长的计算公式以及菱形的性质，根据已知得出菱形每转动3次一循环进而得出经过路径是解题的关键．