Question

17．抛物线y=x²-x-6与x轴交于点A、B（A在B的左边），与y轴分别交于点C．
（1）求△ABC的面积；
（2）若M在y轴右侧的抛物线上，S_△AMO=$\frac{2}{3}$S_△COB．求M的坐标．

Answer 1

分析 （1）由抛物线的解析式求出点A、B、C的坐标，AB、OC的长，即可得出△ABC的面积；
（2）设点M的坐标为（x，y），根据三角形的面积关系求出y的值，再代入二次函数解析式求出x的值即可．

解答 解：（1）如图1所示：
对于抛物线y=x²-x-6，当y=0时，x²-x-6=0，
解得：x=-2，或x=3，
∴A（-2，0），B（3，0），OA=2，OB=3，
∴AB=5；
当x=0时，y=-6，
∴C（0，-6），OC=6，
∴△ABC的面积=$\frac{1}{2}$AB•OC=$\frac{1}{2}$×5×6=15；
（2）如图2所示：设点M的坐标为（x，y），
∵S_△AMO=$\frac{2}{3}$S_△COB．
∴$\frac{1}{2}$×2×|y|=$\frac{2}{3}$×$\frac{1}{2}$×3×6，
解得：y=±6，
当y=6时，x²-x-6=6，
解得：x=4，或x=-3（舍去），
∴M的坐标为（4，6）；
当y=-6时，x²-x-6=-6，
解得：x=1，或x=0（舍去），
∴M的坐标为（1，-6）；
综上所述：点M的坐标为（4，6），或（1，-6）．

点评 本题考查了抛物线与x轴的交点坐标、三角形面积的计算；熟练掌握二次函数的应用，并能进行推理计算是解决问题的关键．