Question

18．如图，在△ABC中，P、M、Q分别是AB、BC、AC的中点．
（1）求证：四边形APMQ是平行四边形；
（2）直接写出当△ABC满足什么条件时，四边形APMQ是菱形？

Answer 1

分析 （1）由已知条件得出PM是△ABC的中位线，得出PM∥AC，PM=$\frac{1}{2}$AC，同理：QM∥AB，QM=$\frac{1}{2}$AB，即可得出结论；
（2）由PM=$\frac{1}{2}$AC，QM=$\frac{1}{2}$AB，得出PM=QM，即可得出四边形APMQ是菱形．

解答 （1）证明：∵P、M、分别是AB、BC的中点，
∴PM是△ABC的中位线，
∴PM∥AC，PM=$\frac{1}{2}$AC，
同理：QM∥AB，QM=$\frac{1}{2}$AB，
∴四边形APMQ是平行四边形；
（2）得当AB=AC时，四边形APMQ是菱形；理由如下：
解：由（1）得：PM=$\frac{1}{2}$AC，QM=$\frac{1}{2}$AB，
∵AB=AC，
∴PM=QM，
∴四边形APMQ是菱形．

点评 本题考查了三角形中位线定理、平行四边形的判定、菱形的判定、等腰三角形的性质；熟练掌握三角形中位线定理，并能进行推理论证是解决问题的关键．