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【题目】如图,已知矩形OABC,点P在边OA上(不与端点重合),点Q在边CO上(不与端点重合).

(1)如图(1),若∠BPQ=90°,且△OPQ与△PAB和△QPB相似,请写出表示这三个三角形相似的式子,并探究此时线段OQQBBA之间的数量关系.

(2)若∠PQB=90°,且△OPQ与△PAB、△QPB都相似,如图(2),请重新写出表示这三个三角形相似的式子,并证明ABOA=2:3.

(3)在(1)中,若OA=8OC=8,OPCQ.以矩形OABC的两边OAOC所在的直线分别为x轴和y轴,建立平面直角坐标系,如图(3),若某抛物线顶点为P,点B在抛物线上.

①求此抛物线的解析式.

②过线段BP上一动点M(点M与点PB不重合),作y轴的平行线交抛物线于点N,若记点M的横坐标为m,试求线段MN的长Lm之间的函数关系式,画出该函数的示意图,并指出m取何值时,L有最大值,最大值是多少?

【答案】(1) BQOQ+AB;(2)见解析;(3)①yx2﹣2x+8;②当m取6时,L有最大值,且最大值为 2

【解析】

1)要写成三个三角形相似的式子,需要先找出相等的对应角,首先由BCOA,确定∠CBP=BPA>∠QBP,那么三个相似三角形的一组对应角应该是:∠QBP、∠QPO、∠ABP,显然能得出∠QBP=ABP、∠OQP=BQP,那么过PBQ的垂线,根据角平分线定理即可判断出OQQBBA三者之间的数量关系.

2)同(1),先根据图示确定相似三角形的对应角,然后根据三个三角形的对应顶点写出三角形相似的式子;在BQPBPA中,有公共边BP,可确定两者全等,那么BQ=AB,因此确定出∠CBQ的度数,即可确定ABBCOA)的比例关系,那么可以从OQPCQBABP这三个相似三角形入手.

3)①首先结合(1)的解题过程,确定OP的长,进而得出点P的坐标,再利用待定系数法确定抛物线的解析式;

②首先利用待定系数法求出直线BP的解析式,然后根据直线BP、抛物线的解析式,用点M的横坐标表示出点MN的纵坐标,两点纵坐标的差即为L的函数表达式,再根据函数的性质进行判断即可.

1OPQABP中,∵∠OPQ+APB90°,且∠APB+ABP90°

∴∠OPQ=∠ABP

BPQABP中,∵BCOA,∴∠APB=∠CBP>∠PBQ

若两个三角形相似,则:∠PBQ=∠ABP

∴∠OPQ=∠ABP=∠PBQ

又∵∠O=∠A=∠QPB90°

∴△OPQ∽△ABP∽△PBQ

OPQPBQ中,∠OQP=∠PQB,过PPDBQD,则 OQQD

同理,可得:BDAB

BQQD+BDOQ+AB

2)同(1)可确定∠QBP=∠ABP,由图知:∠QPO=∠BPA

∴∠OQP=∠ABP=∠QBP,又∠BQP=∠QOP=∠BAP90°

∴△OPQ∽△APB∽△QPB

由(1)的结论知:∠OQP=∠QBC=∠QBP=∠ABP,且∠ABC90°

∴∠QBC30°,则 BQCB223

QPB∽△APB,且BPBP,所以QPB≌△APB,得:ABBQ

ABBC23,即 ABOA23

3)①由(1)的解答过程知:若OPQPABQPB相似,则必须满足的条件是∠QPB90゜;

此时∠OQP=∠BQP、∠QBP=∠ABP,由(1)题图可知:OPAPPD

OPAPOA4,即 P40);

设抛物线的解析式为:yax42,代入点B88),得:

a8428,解得 a

∴抛物线的解析式为:yx42x22x+8

②设直线BP的解析式为:ykx+b,代入B88)、P40),得:

,解得

∴直线BPyx8

已知点M的横坐标为m,则 Mm m8)、Nm m22m+8),则有:

MN的长:Lm8﹣(m22m+8)=﹣m2+3m164m8)(如右图)

配方,得:L=﹣m212m+72+2=﹣m62+2

∴当m6时,L有最大值,且最大值为 2

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