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【题目】正方形ABCD中,将边AB所在直线绕点A逆时针旋转一个角度α得到直线AM,过点CCEAM,垂足为E,连接BE

1)当α45°时,设AMBC于点F

①如图1,若α35°,则∠BCE   °

②如图2,用等式表示线段AEBECE之间的数量关系,并证明;

2)当45°α90°时(如图3),请直接用等式表示线段AEBECE之间的数量关系.

【答案】(1)①35;②AECE+BE.证明见解析;(2AE+CEBE.理由见解析.

【解析】

1)①四边形ABCD是正方形通过角的关系求出∠AFBCEAM,即可求出∠BCE.

②过点BBGBE,交AM于点G,由①中四边形ABCD是正方形易得∠ABG=∠CBE,再通过直角三角形内角和代换即可得到∠α=∠BCE,易得ABG≌△CBEASA),在通过勾股定理即可得出AECEBE.

2)过点BBGBE,交AM于点G,由(1)中得到∠ABG=∠CBE,再通过直角三角形内角和代换即可得到∠DAH=∠DCE,延长DABGN,易得∠BAG=∠BCE,即可得到ABG≌△CBEASA),再通过勾股定理GEBE,等量代换即可得出AEBECE之间的数量关系.

1)①∵四边形ABCD是正方形,∴∠ABC90°

∵∠BAF35°

∴∠AFB90°﹣∠BAF55°

∴∠CFE=∠AFB55°

CEAM

∴∠CEF90°

∴∠ECF90°﹣∠CFE35°

即:∠BCE35°

故答案为:35

AECEBE

证明:如图2,过点BBGBE,交AM于点G

∴∠GBE=∠GBC+∠CBE90°

∵四边形ABCD为正方形,

ABBC,∠ABC=∠ABG+∠GBC90°

∴∠ABG=∠CBE

∵∠ABC90°

∴∠α+∠AFB90°

∵∠CFE=∠AFB

∴∠α+∠CFE90°

∵∠CEF90°

∴∠BCE+∠CFE90°

∴∠α=∠BCE

ABGCBE中,

ABG=∠CBEABBC,∠α=∠BCE

∴△ABG≌△CBEASA),

AGCEBGBE

∵在RtBEG中,BGBE

GEBE

AEAGGECEBE

2)理由:如图3,过点BBGBE,交AM于点G

∴∠GBE=∠GBA+∠ABE90°

∵四边形ABCD为正方形,

ABBC,∠D=∠ABC=∠ABE+∠EBC90°

∴∠ABG=∠CBE

∵∠D90°

∴∠DAH+∠AHD90°

∵∠AHD=∠CHE

∴∠DAH+∠CHE90°

∵∠CEA90°

∴∠DCE+∠CHE90°

∴∠DAH=∠DCE

延长DABGN

∵∠NAG=∠DAH,∴∠NAG=∠DCE

∴∠NAG90°=∠DCE90°

∴∠BAG=∠BCE

ABGCBE中,

ABG=∠CBEABBC,∠BAG=∠BCE

∴△ABG≌△CBEASA),

AGCEBGBE

∵在RtBEG中,BGBE

GEBE

AEGEAGBECE

即:AECEBE

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①求此抛物线的解析式.

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OP于点A

②以A为圆心,AO为半径作圆,

交⊙O于点M

③作直线PM,则直线PM即为⊙O的切线.

根据小芸设计的尺规作图过程,

1)使用直尺和圆规,补全图形;(保留作图痕迹)

2)完成下面的证明:

证明:连接OM

由作图可知,AOP中点,

OP为⊙A直径,

∴∠OMP   °,(   )(填推理的依据)

OMPM

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