【题目】如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB,垂足为H,连结AC,过弧BD上一点E作EG∥AC交CD的延长线于点G,连结AE交CD于点F,且EG=FG,连结CE.
(1)求证:△ECF∽△GCE;
(2)求证:EG是⊙O的切线;
(3)延长AB交GE的延长线于点M,若tan∠G=,AH=3,求EM的值.
【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析;(3).
【解析】
(1)根据平行线的性质可得∠G=∠ACG,再根据圆周角定理可得∠CEF=∠ACG,即∠G=∠CEF,然后根据三角形相似的判定即可得证;
(2)连接OE,根据等腰三角形的性质可得∠GFE=∠GEF=∠AFH,∠OAE=∠OEA,根据题意可得∠AFH+∠FAH=90°,即∠GEF+∠AEO=90°,然后切线的判定即可得证;
(3)如图3中,连接OC,设⊙O的半径为r,在Rt△AHC中,利用三角形函数求得HC=4,在Rt△HOC中,利用勾股定理列出关于r的方程,求解方程得到r=,然后根据平行线的性质得到∠CAH=∠M,进而证明△AHC∽△MEO,再利用相似三角形的性质求解即可.
(1)证明:如图1中,
∵AC∥EG,
∴∠G=∠ACG,
∵AB⊥CD,
∴=,
∴∠CEF=∠ACG,
∴∠G=∠CEF,
∵∠ECF=∠ECG,
∴△ECF∽△GCE.
(2)证明:如图2中,连接OE,
∵GF=GE,
∴∠GFE=∠GEF=∠AFH,
∵OA=OE,
∴∠OAE=∠OEA,
∵∠AFH+∠FAH=90°,
∴∠GEF+∠AEO=90°,
∴∠GEO=90°,
∴GE⊥OE,
∴EG是⊙O的切线.
(3)解:如图3中,连接OC,设⊙O的半径为r,
在Rt△AHC中,tan∠ACH=tan∠G═,
∵AH=3,
∴HC=4,
在Rt△HOC中,∵OC=r,OH=r﹣3,HC=4,
∴(r﹣3)2+42=r2,
∴r=
∵GM∥AC,
∴∠CAH=∠M,
∵∠OEM=∠AHC,
∴△AHC∽△MEO,
∴,
∴,
解得:.
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【题目】我们把一个半圆与抛物线的一部分合成的封闭图形称为“蛋圆”,如果一条直线与“蛋圆”只有一个交点,那么这条直线叫做“蛋圆”的切线。如图,点A、B、C、D分别是“蛋圆”与坐标轴的交点,点D的坐标为(0,-3)AB为半圆直径,半圆圆心M(1,0),半径为2,则经过点D的“蛋圆”的切线的解析式为__________________。
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【题目】正方形ABCD中,将边AB所在直线绕点A逆时针旋转一个角度α得到直线AM,过点C作CE⊥AM,垂足为E,连接BE.
(1)当0°<α<45°时,设AM交BC于点F,
①如图1,若α=35°,则∠BCE= °;
②如图2,用等式表示线段AE,BE,CE之间的数量关系,并证明;
(2)当45°<α<90°时(如图3),请直接用等式表示线段AE,BE,CE之间的数量关系.
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【题目】如图,△ABC三个顶点的坐标分别为A(1,1),B(4,2),C(3,4).
(1)请画出△ABC绕O点逆时针旋转90°得到△A1B1C1,请画出△A1B1C1.
(2)在x轴上求作一点P,使△PA1C1的周长最小,并直接写出P的坐标.
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【题目】如图,可以自由转动的转盘被它的两条直径分成了四个分别标有数字的扇形区域,其中标有数字“1”的扇形圆心角为120°.转动转盘,待转盘自动停止后,指针指向一个扇形的内部,则该扇形内的数字即为转出的数字,此时,称为转动转盘一次(若指针指向两个扇形的交线,则不计转动的次数,重新转动转盘,直到指针指向一个扇形的内部为止)
(1)转动转盘一次,求转出的数字是-2的概率;
(2)转动转盘两次,用树状图或列表法求这两次分别转出的数字之积为正数的概率.
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【题目】某数学社团成员想利用所学的知识测量某广告牌的宽度图中线段MN的长,直线MN垂直于地面,垂足为点在地面A处测得点M的仰角为、点N的仰角为,在B处测得点M的仰角为,米,且A、B、P三点在一直线上请根据以上数据求广告牌的宽MN的长.
参考数据:,,,,,
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【题目】如图,已知直线y=﹣x+3分别交x轴、y轴于点A、B,P是抛物线y=﹣x2+2x+5上的一个动点,其横坐标为a,过点P且平行于y轴的直线交直线y=﹣x+3于点Q,则当PQ=BQ时,a的值是_____.
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【题目】如图,在△ABC中,∠ACB=90°,O是边AC上一点,以O为圆心,以OA为半径的圆分别交AB、AC于点E、D,在BC的延长线上取点F,使得BF=EF.
(1)判断直线EF与⊙O的位置关系,并说明理由;
(2)若∠A=30°,求证:DG=DA;
(3)若∠A=30°,且图中阴影部分的面积等于2,求⊙O的半径的长.
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【题目】已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过一次函数y=-x+3的图象与x轴、y轴的交点,并且也经过(1,1)点,求这个二次函数的关系式,并求x为何值时,函数有最大(最小)值?这个值是多少?
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