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【题目】如图,AB是⊙O的直径,弦CDAB,垂足为H,连结AC,过弧BD上一点EEGACCD的延长线于点G,连结AECD于点F,且EGFG,连结CE

1)求证:ECF∽△GCE

2)求证:EG是⊙O的切线;

3)延长ABGE的延长线于点M,若tanGAH3,求EM的值.

【答案】1)证明见解析;(2)证明见解析;(3.

【解析】

(1)根据平行线的性质可得G=∠ACG再根据圆周角定理可得CEF=∠ACGG=∠CEF然后根据三角形相似的判定即可得证;

(2)连接OE,根据等腰三角形的性质可得GFE=∠GEF=∠AFH,∠OAE=∠OEA根据题意可得AFH+∠FAH=90°,即GEF+∠AEO=90°,然后切线的判定即可得证;

(3)如图3中,连接OCO的半径为rRt△AHC中,利用三角形函数求得HC=4,Rt△HOC中,利用勾股定理列出关于r的方程,求解方程得到r=,然后根据平行线的性质得到CAH=∠M,进而证明AHC∽△MEO再利用相似三角形的性质求解即可.

(1)证明:如图1中,

ACEG

∴∠G=∠ACG

ABCD

∴∠CEF=∠ACG

∴∠G=∠CEF

∵∠ECF=∠ECG

∴△ECF∽△GCE

(2)证明:如图2中,连接OE

GFGE

∴∠GFE=∠GEF=∠AFH

OAOE

∴∠OAE=∠OEA

∵∠AFH+∠FAH=90°,

∴∠GEF+∠AEO=90°,

∴∠GEO=90°,

GEOE

EGO的切线.

(3)解:如图3中,连接OCO的半径为r

Rt△AHC中,tan∠ACH=tan∠G

AH=3,

HC=4,

Rt△HOC中,OCrOHr﹣3,HC=4,

∴(r﹣3)2+42r2

r

GMAC

∴∠CAH=∠M

∵∠OEM=∠AHC

∴△AHC∽△MEO

解得:.

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