Question

如图，P是⊙O外一点，PA切⊙O于点A，BC是⊙O的直径，且AC∥OP．求证：PB是⊙O的切线．

Answer 1

分析：连接OA，根据BC是⊙O的直径可知OA=OB=OC，在△OAC中，根据OA=OC可知∠1=∠2，由平行线的性质可知∠2=∠3，∠1=∠4，故∠3=∠4，再根据全等三角形的判定定理得出△OAP≌△OBP，故∠OBP=∠OAP=90°，进而可得出结论．

解答：证明：连接OA，
∵PA切⊙O于点A，
∴∠OAP=90°，
∵BC是⊙O的直径，
∴OA=OB=OC，
∴∠1=∠2，
∵AC∥OP，
∴∠2=∠3，∠1=∠4，
∴∠3=∠4，
在△OAP与△OBP中，
∵

OA=OB ∠3=∠4 OP=OP

，
∴△OAP≌△OBP，
∴∠OBP=∠OAP=90°，
∴PB是⊙O的切线．

点评：本题考查的是切线的判定与性质，全等三角形的判定与性质及平行线的性质，根据题意作出辅助线构造出直角三角形是解答此题的关键．