Question

8．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y₁=k₁x+1的图象与y轴交与点A，与x轴交于点B，与反比例函数y₂=$\frac{{k}_{2}}{x}$的图象分别交于点M、N，已知△AOB的面积为1，点M的纵坐标为2．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）求N点的坐标及△MON的面积．

Answer 1

分析 （1）可先求出点A的坐标，从而得到OA的值，然后根据△AOB的面积可求出OB的值，从而得到点B的坐标，然后运用待定系数法，就可求出一次函数的解析式，然后由点M的纵坐标可求出点M的坐标，再运用待定系数法，就可求出反比例函数的解析式；
（2）解一次函数与反比例函数解析式组成的方程组，就可求出点N的坐标，然后运用割补法就可求出△MON的面积．

解答 解：（1）当x=0时，y₁=1，则A（0，1），OA=1．
∴S_△AOB=$\frac{1}{2}$OA•OB=$\frac{1}{2}$×1×OB=1，
∴OB=2，B（2，0），
∴0=2k₁+1，
解得k₁=-$\frac{1}{2}$，
∴一次函数的解析式为y₁=-$\frac{1}{2}$x+1．
∵点M在直线y₁=-$\frac{1}{2}$x+1上，y_M=2，
∴2=-$\frac{1}{2}$x_M+1，
∴x_M=-2，
∴点M的坐标为（-2，2）．
∵点M在反比例函数y₂=$\frac{{k}_{2}}{x}$的图象上，
∴k₂=-2×2=-4，
∴反比例函数的解析式为y₂=-$\frac{4}{x}$；

（2）解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{2}x+1}\\{y=-\frac{4}{x}}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=-1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-2}\\{y=2}\end{array}\right.$，
∴点N的坐标为（4，-1）．
过点M作ME⊥y轴于E，过点N作NF⊥x轴于F，如图，
则有ME=2，NF=1，
∴S_△OMN=S_△OAM+S_△AOB+S_△OBN
=$\frac{1}{2}$OA•ME+1+$\frac{1}{2}$OB•NF
=$\frac{1}{2}$×1×2+1+$\frac{1}{2}$×2×1
=3．

点评 本题主要考查了一次函数与反比例函数的交点问题、运用待定系数法求一次函数与反比例函数的解析式、解方程组等知识，在求三角形面积时，用到了割补法，它是求不规则图形面积常用的方法，应熟练掌握．