Question

17．如图，AB为⊙O的直径，PB为切线，点C在⊙O上，AC∥OP．
（1）求证：PC为⊙O的切线；
（2）过D点作DE⊥AB于点E，交CB于点F，连AD交BC于点G，CG=3，DE=4，求$\frac{DG}{DB}$的值；
（3）在（2）的条件下，求tan∠DAC的值．

Answer 1

分析 （1）连接CO，如图1，易证∠COD=∠DOB，从而可证到△COP≌△BOP，则有∠OCP=∠OBP．根据切线的性质可得∠OBP=90°，即可得到∠OCP=90°，从而可得PC为⊙O的切线；
（2）连接OC，BD，设OD与BC交于点H，如图2，根据等腰三角形的性质可得OH⊥BC，CH=BH，运用面积法可得BH=DE=4，就可求出CH，GH，BG．易证△GHD∽△GDB，运用相似三角形的性质可求出DG，然后运用勾股定理可求出DB，就可求出$\frac{DG}{DB}$；
（3）根据圆周角定理可得∠DAC=∠DBC，在Rt△GDB中运用三角函数的定义就可解决问题．

解答 解：（1）连接CO，如图1，

∵AC∥OP，
∴∠OAC=∠DOB，∠OCA=∠COD，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∴∠COD=∠DOB．
在△COP和△BOP中，
$\left\{\begin{array}{l}{OC=OB}\\{∠COP=∠BOP}\\{OP=OP}\end{array}\right.$，
∴△COP≌△BOP，
∴∠OCP=∠OBP．
∵AB为⊙O的直径，PB为切线，
∴∠OBP=90°，
∴∠OCP=90°，
∴PC为⊙O的切线；

（2）连接OC，BD，设OD与BC交于点H，如图2，

∵OC=OB，∠COD=∠BOD，
∴OH⊥BC，CH=BH，
∴S_△OBD=$\frac{1}{2}$OD•BH=$\frac{1}{2}$OB•DE．
∵OB=OD，
∴BH=DE=4，
∴CH=BH=4．
∵CG=3，
∴GH=1，BG=5．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠DHG=∠GDB=90°．
又∵∠DGH=∠BGD，
∴△GHD∽△GDB，
∴$\frac{DG}{BG}$=$\frac{GH}{GD}$，
∴DG²=GH•BG=1×5=5，
∴DG=$\sqrt{5}$．
∴DB=$\sqrt{B{G}^{2}-D{G}^{2}}$=$\sqrt{25-5}$=2$\sqrt{5}$，
∴$\frac{DG}{DB}$=$\frac{\sqrt{5}}{2\sqrt{5}}$=$\frac{1}{2}$；

（3）∵∠DAC=∠DBC，
∴tan∠DAC=tan∠DBC=$\frac{DG}{DB}$=$\frac{1}{2}$．

点评 本题主要考查了全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、切线的判定与性质、圆周角定理、三角函数的定义、平行线的性质、等腰三角形的性质、勾股定理等知识，有一定的综合性，利用面积法求出BH的长是解决第（2）小题的关键．