Question

10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，动点D从点A出发以每秒3个单位的速度运动至点B，过点D作DE⊥AB交射线AC于点E．设点D的运动时间为t秒（t＞0）．
（1）线段AE的长为5t．（用含t的代数式表示）
（2）若△ADE与△ACB的面积比为1：4时，求t的值．
（3）设△ADE与△ACB重叠部分图形的周长为L，求L与t之间的函数关系式．
（4）当直线DE把△ACB分成的两部分图形中有一个是轴对称图形时，直接写出t的值．

Answer 1

分析 （1）先在Rt△ABC中求出tanA，再在Rt△ADE中求出DE，最后用勾股定理即可得出结论；
（2）方法一：先判断出△ABC∽△AED，进而得出DE=4t，再用三角形的面积公式得出△ADE，△ABC的面积，用面积比建立方程即可得出结论；
方法二、先判断出△ABC∽△AED，再用$\frac{{{S_{△ADE}}}}{{{S_{△AC{B_{\;}}}}}}=\frac{1}{4}$，得出$\frac{AD}{AC}=\frac{1}{2}$．而AC=3，AD=3t，即可得出结论；  
（3）分两种情况讨论计算，都是四边形是轴对称图形，用相等的线段建立方程求解即可．

解答 解：（1）在Rt△ABC中，tanA=$\frac{BC}{AC}$=$\frac{4}{3}$
由题意得，AD=3t，
在Rt△ADE中，tanA=$\frac{DE}{AD}$=$\frac{DE}{3t}$=$\frac{4}{3}$，
根据勾股定理得，AE=5t．
故答案为5t；
（2）方法一：∵ED⊥AB，
∴∠ADE=90°．∵∠ACB=90°，
∴∠ACB=∠ADE．∠A=∠A，
∴△ABC∽△AED，
∴$\frac{AD}{AC}=\frac{DE}{BC}$．
∵AD=3t，AC=3，BC=4，
∴DE=4t．
∴${S_{△ADE}}=\frac{1}{2}×3t×4t=6{t^2}$．
∵${S_{△ACB}}=\frac{1}{2}×3×4=6$，
∵$\frac{{{S_{△ADE}}}}{{{S_{△AC{B_{\;}}}}}}=\frac{1}{4}$，
∴$6{t^2}=\frac{1}{4}×6$．
∴${t_1}=\frac{1}{2}，{t_2}=-\frac{1}{2}$（舍）
∴t的值为$\frac{1}{2}$．                            
方法二：∵ED⊥AB，
∴∠ADE=90°．
∵∠ACB=90°，
∴∠ACB=∠ADE．
∵∠A=∠A，
∴△ABC∽△AED，
∵$\frac{{{S_{△ADE}}}}{{{S_{△AC{B_{\;}}}}}}=\frac{1}{4}$，
∴$\frac{AD}{AC}=\frac{1}{2}$．                
∵AC=3，AD=3t，
∴2×3t=3，t=$\frac{1}{2}$．                    
（3）由（2）得：△ABC∽△AED，
∴$\frac{AC}{AD}=\frac{BC}{DE}=\frac{AB}{AE}$．
∵AD=3t，
∴DE=4t，AE=5t．BD=5-3t，
∴当$0＜t≤\frac{3}{5}$时，L=3t+4t+5t=12t．
∴L=12t．                        
当$\frac{3}{5}＜t≤\frac{5}{3}$时，如图，

∵∠B=∠B，∠BDF=∠BCA，
∴△ABC∽△FBD，
∴$\frac{BD}{BC}=\frac{DF}{AC}$．
∵BD=5-3t，
∴$DF=\frac{15}{4}-\frac{9}{4}t$．
∵∠BFD=∠EFC，∠BDF=∠ECF，
∴∠B=∠E，
∵∠FCE=∠BCA
∴△BCA∽△ECF，
∴$\frac{CF}{AC}=\frac{CE}{BC}$．
∵CE=5t-3，
∴$CF=\frac{15}{4}t-\frac{9}{4}$．
$L=3t+3+\frac{15}{4}t-\frac{9}{4}+\frac{15}{4}-\frac{9}{4}t=\frac{9}{2}t+\frac{9}{2}$．
∴$L=\frac{9}{2}t+\frac{9}{2}$．                      
（4）由（1）知，AE=5t，DE=4t，
∴CE=3-5t，
当DE=CE时，四边形BCED是轴对称图形，
∴4t=3-5t，
∴t=$\frac{1}{3}$，
当DE和BC相交于F，AD=AC时，四边形ACFE是轴对称图形，
∵AD=3t，AC=3，
∴3t=3，
∴t=1．
即：满足条件的时间t为$\frac{1}{3}$或1．

点评 此题是几何变换综合题，主要考查了直角三角形的性质，锐角三角函数，轴对称图形，勾股定理，相似三角形的性质和判定，判断△ABC∽△AED，是解本题，得到L的函数关系式是解本题的难点．