Question

18．a是一个给定的整数，当a为何值时，关于x和y的方程y³+1=a（xy-1）有正整数解？在有正整数解时，求解该不定方程．

Answer 1

分析 先判断出xy-1|y³+1，当且仅当xy-1|x³+1，然后分情况讨论计算，取特殊数计算即可．

解答 解：若有质数p|x³、p|xy-1，则p|x，从而p|1，矛盾．所以（x³，xy-1）=1．所以xy-1|y³+1，当且仅当xy-1|x³（y³+1）．
因为x³（y³+1）=（x³y³-1）+（x³+1），显然xy-1|x³y³-1，
所以xy-1|y³+1，当且仅当xy-1|x³+1．
（1）若y=1，2=a（x-1），所以x=2或x=3，a=2或1．
（2）类似地，若x=1，则y³+1=a（y-1）．所以y=2或y=3，a=9或a=14．
（3）由于有条件，不妨设．
若x=y，则x³+1=a（x²-1），所以x=y=2，a=3．
若x＞y，则y³＞a（y²-1），
因为a，y为整数，所以y=2或y=3．
当y=2时，x=5；当y=3时，x=5．对应的a为1或2．
由条件知x=2，y=5；以及x=3，y=5也是原方程的解，对应的整数a是14或9．
综上，当a=1、2、3、9、14时，原不定方程有正整数解，它们分别是：（3，1），（5，2）；（2，1），（5，3）；（2，2）；（1，2），（3，5）；（1，3），（2，5）．

点评 此题是一次不定方程（组），主要考查有理数整数解，解本题的关键是xy-1|y³+1，当且仅当xy-1|x³+1．