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    如图，△ABC中，AB＝BC＝AC＝12 cm，现有两点M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度为1 cm/s，点N的速度为2 cm/s．当点N第一次到达B点时，M、N同时停止运动．

    (1)点M、N运动几秒后，M、N两点重合？

    (2)点M、N运动几秒后，可得到等边三角形△AMN？

    (3)当点M、N在BC边上运动时，能否得到以MN为底边的等腰三角形AMN？如存在，请求出此时M、N运动的时间．

    答案：
    解析：

    　　解：(1)设点M、N运动x秒后，M、N两点重合，

    　　x×1＋12＝2x，

    　　解得：x＝12．

    　　(2)设点M、N运动t秒后，可得到等边三角形△AMN，如图①，

    　　AM＝t×1＝t，AN＝AB－BN＝12－2t，

    　　∵三角形△AMN是等边三角形，

    　　∴t＝12－2t．

    　　解得t＝4．

    　　∴点M、N运动4秒后，可得到等边三角形△AMN．

    　　(3)当点M、N在BC边上运动时，可以得到以MN为底边的等腰三角形，

    　　由(1)知12秒时M、N两点重合，恰好在C处，

    　　如图②，假设△AMN是等腰三角形，

    　　∴AN＝AM．

    　　∴∠AMN＝∠ANM．

    　　∴∠AMC＝∠ANB

    　　∵AB＝BC＝AC，

    　　∴△ACB是等边三角形．

    　　∴∠C＝∠B

    　　在△ACM和△ABN中，

    　　

    　　∴△ACM≌△ABN．

    　　∴CM＝BN．

    　　设当点M、N在BC边上运动时，M、N运动的时间y秒时，△AMN是等腰三角形，

    　　∴CM＝y－12，NB＝36－2y，CM＝NB

    　　y－12＝36－2y，

    　　解得：y＝16．故假设成立．

    　　∴当点M、N在BC边上运动时，能得到以MN为底边的等腰三角形AMN，此时M、N运动的时间为16秒．


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