如图，在Rt△ABP1中，∠AP1B=Rt∠，∠A=30°，BP1=2，过点P1作P1Q1⊥AB，垂足Q1，过点Q1作Q1P2⊥AP1，垂足P2，过点P2作P2Q2⊥AB，垂足Q2，…如此无限下去，得到一系列阴影三角形△P1Q1P2、△P2Q2P3、△P3Q3P4…，则所有这些阴影三角形的面积和是（ ）| A． | $\sqrt{3}$ | B． | $\frac{3}{4}\sqrt{3}$ | C． | $\frac{6}{7}\sqrt{3}$ | D． | 不能确定 |
分析 先根据锐角三角函数的定义求出AP1，BQ1，Q1P1及Q1P2的长，再求出$\frac{{S}_{{△O}_{1}{P}_{1}{P}_{2}}}{{S}_{{△BP}_{1}{Q}_{1}}}$的值，找出规律即可得出结论．
解答 解：∵在Rt△ABP1中，∠AP1B=Rt∠，∠A=30°，BP1=2，
∴AP1=$\frac{{BP}_{1}}{tan30°}$=$\frac{2}{\frac{\sqrt{3}}{3}}$=2$\sqrt{3}$，∠B=60°．
∵P1Q1⊥AB，
∴BQ1=BP1•cos60°=2×$\frac{1}{2}$=1，Q1P1=$\sqrt{3}$．
∵Q1P2⊥AP1，
∴Q1P2=P1Q1•sin60°=$\sqrt{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{3}{2}$，Q1P2∥BP1，
∴$\frac{{S}_{{△O}_{1}{P}_{1}{P}_{2}}}{{S}_{{△BP}_{1}{Q}_{1}}}$=$\frac{{Q}_{1}{P}_{2}}{{BP}_{1}}$=$\frac{\frac{3}{2}}{2}$=$\frac{3}{4}$，
∵S△BP1Q1=$\frac{1}{2}$×1×$\sqrt{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴S△Q1P1P2=$\frac{3\sqrt{3}}{8}$，
∴$\frac{{S}_{{△O}_{1}{P}_{1}{P}_{2}}}{{S}_{四边形BP1P2Q1}}$=$\frac{\frac{3\sqrt{3}}{8}}{\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{3\sqrt{3}}{8}}$=$\frac{3}{7}$．
同理可得，$\frac{{S}_{{△O}_{2}{P}_{2}{P}_{3}}}{{S}_{四边形O2Q1P2P3}}$=$\frac{3}{7}$，…，
∴S阴影=$\frac{3}{7}$S△ABP1=$\frac{3}{7}$×$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{3}$×2=$\frac{6\sqrt{3}}{7}$．
故选C．
点评 本题考查的是相似三角形的判定与性质，熟知高相等的三角形面积的比等于底边的比是解答此题的关键．
科目：初中数学 来源： 题型：填空题
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科目：初中数学 来源： 题型：解答题
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已知，在Rt△OAB中，∠OAB=90°，∠BOA=30°，AB=2．若以O为坐标原点，OA所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，点B在第一象限内．将Rt△OAB沿OB折叠后，点A落在第一象限内的点C处．查看答案和解析>>
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如图，在⊙O中，半径OA⊥OB，∠B=28°，求∠BOC的度数．