Question

10．已知，在Rt△OAB中，∠OAB=90°，∠BOA=30°，AB=2．若以O为坐标原点，OA所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，点B在第一象限内．将Rt△OAB沿OB折叠后，点A落在第一象限内的点C处．
（1）求点C的坐标．
（2）若抛物线y=ax²+bx（a≠0）经过C、A两点，求此抛物线的解析式．
（3）H是线段OA上的一点，过点H作PH⊥x轴，与抛物线交于P点，若直线OB把△POH分成面积之比为1：2的两部分，请求出P点的坐标．

Answer 1

分析 （1）可在直角三角形BOA中，根据AB的长和∠AOB的度数，求出OA的长．根据折叠的性质可知：OC=OA，∠COA=60°，过C作x轴的垂线，即可用三角形函数求出C点的坐标；
（2）根据（1）求出的A，C点的坐标，用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（3）分两种情况：①HE：HP=1：3；②HE：HP=2：3；根据等底的三角形面积比等于底边的比求解即可．

解答 解：（1）如图，过点C作CM⊥x轴，垂足为M．
∵在Rt△OAB中，∠OAB=90°，∠BOA=30°，AB=2
∴OB=4，OA=2$\sqrt{3}$，
由折叠知，∠COB=30°，OC=OA=2$\sqrt{3}$，
∴∠COH=60°，OM=$\sqrt{3}$，CM=3
∴C点坐标为（$\sqrt{3}$，3）；

（2）∵抛物线y=ax²+bx（a≠0）经过C（$\sqrt{3}$，3）、A（2$\sqrt{3}$，0）两点，
∴$\left\{\begin{array}{l}{3=3a+\sqrt{3}b}\\{0=12a+2\sqrt{3}b}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=2\sqrt{3}}\end{array}\right.$．
∴此抛物线的解析式为：y=-x²+2$\sqrt{3}$x．

（3）设直线OB的解析式为y=kx，则
2$\sqrt{3}$k=2，
解得k=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
则直线OB的解析式为y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x；
如图，分两种情况：
①HE：HP=1：3，
$\frac{\sqrt{3}}{3}$x：（-x²+2$\sqrt{3}$x）=1：3，
解得x₁=0（舍去），x₂=$\sqrt{3}$，
-（$\sqrt{3}$）²+2$\sqrt{3}$×$\sqrt{3}$=3，
则P点的坐标为（$\sqrt{3}$，3）；
②HE：HP=2：3；
$\frac{\sqrt{3}}{3}$x：（-x²+2$\sqrt{3}$x）=2：3，
解得x₃=0（舍去），x₄=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
-（$\frac{3\sqrt{3}}{2}$）²+2$\sqrt{3}$×$\frac{3\sqrt{3}}{2}$=$\frac{9}{4}$，
则P点的坐标为（$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，$\frac{9}{4}$）．
故P点的坐标为（$\sqrt{3}$，3）或（$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，$\frac{9}{4}$）．

点评 本题着重考查了待定系数法求一次函数解析式、二次函数解析式、图形翻折变换、三角形面积等重要知识点，综合性强，考查学生数形结合的数学思想方法．