Question

14．如图，在边长为a的等边三角形ABC中有一个由三个全等的叶形所组成的“三叶草”图形，点O是△ABC的外心，则该“三叶草”图形的面积是$\frac{π}{3}$a²-$\frac{\sqrt{3}}{2}$a²．

Answer 1

分析 根据扇形面积公式和三角形的面积公式求出弓形BOC的面积，结合图形计算即可．

解答 解：设弓形BOC所在圆的圆心为E，连接OE、BE、CE，
则∠BEC=120°，
∴∠BED=60°，
∴BE=$\frac{BD}{sin∠BED}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$a，DE=$\frac{\sqrt{3}}{6}$a，
则弓形BOC的面积=$\frac{120π×（\frac{\sqrt{3}}{3}a）^{2}}{360}$-$\frac{1}{2}$×a×$\frac{\sqrt{3}}{6}$a
=$\frac{π{a}^{2}}{9}$-$\frac{\sqrt{3}}{12}$a²，
∴该“三叶草”图形的面积=3（$\frac{π{a}^{2}}{9}$-$\frac{\sqrt{3}}{12}$a²）-$\frac{1}{2}$×a×$\frac{\sqrt{3}}{2}$a=$\frac{π}{3}$a²-$\frac{\sqrt{3}}{2}$a²，
故答案为：$\frac{π}{3}$a²-$\frac{\sqrt{3}}{2}$a²．

点评 本题考查的是三角形的外接圆和外心，掌握弓形面积的计算公式、等边三角形的性质是解题的关键．