【题目】如图,四边形ABCD内接于圆,对角线AC与BD相交于点E,F在AC上,AB=AD,∠BFC=∠BAD=2∠DFC.
求证:
(1)CD⊥DF;
(2)BC=2CD.
【答案】(1)详见解析;(2)详见解析.
【解析】
(1)利用在同圆中所对的弧相等,弦相等,所对的圆周角相等,三角形内角和可证得∠CDF=90°,则CD⊥DF;
(2)应先找到BC的一半,证明BC的一半和CD相等即可.
证明:(1)∵AB=AD,
∴弧AB=弧AD,∠ADB=∠ABD.
∵∠ACB=∠ADB,∠ACD=∠ABD,
∴∠ACB=∠ADB=∠ABD=∠ACD.
∴∠ADB=(180°﹣∠BAD)÷2=90°﹣∠DFC.
∴∠ADB+∠DFC=90°,即∠ACD+∠DFC=90°,
∴CD⊥DF.
(2)过F作FG⊥BC于点G,
∵∠ACB=∠ADB,
又∵∠BFC=∠BAD,
∴∠FBC=∠ABD=∠ADB=∠ACB.
∴FB=FC.
∴FG平分BC,G为BC中点,
∵在△FGC和△DFC中,
∴△FGC≌△DFC(ASA),
∴
∴BC=2CD.
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【题目】小明选择一家酒店订春节团圆饭.他借助网络评价,选择了A、B、C三家酒店,对每家酒店随机选择1000条网络评价统计如下:
评价条数 等级 酒店 | 五星 | 四星 | 三星及三星以下 | 合计 |
A | 412 | 388 |
| 1000 |
B | 420 | 390 | 190 | 1000 |
C | 405 | 375 | 220 | 1000 |
(1)求x值.
(2)当客户给出评价不低于四星时,称客户获得良好用餐体验.
①请你为小明从A、B、C中推荐一家酒店,使得能获得良好用餐体验可能性最大.写出你推荐的结果,并说明理由.
②如果小明选择了你推荐的酒店,是否一定能够享受到良好用餐体验?
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【题目】如图,点A的坐标为(0,2),点B为一、三象限角平分线上的一个动点,BC⊥AB交x轴的正半轴于点C.当∠OAB=_____°时,△COB是等腰三角形.
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【题目】抛物线与x轴交于A,B两点(点A在点B的左边),与y轴正半轴交于点C.
(1)如图1,若A(-1,0),B(3,0),
① 求抛物线的解析式;
② P为抛物线上一点,连接AC,PC,若∠PCO=3∠ACO,求点P的横坐标;
(2)如图2,D为x轴下方抛物线上一点,连DA,DB,若∠BDA+2∠BAD=90°,求点D的纵坐标.
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【题目】关于x的一元二次方程x2+2x+2m=0有两个不相等的实数根.
(1)求m的取值范围;
(2)若x1,x2是一元二次方程x2+2x+2m=0的两个根,且x12+x22﹣x1x2=8,求m的值.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,直线与轴、轴分别交于点、点,直线与轴、轴分别交于分别交于点、点,直线的解析式为,直线的解析式为,两直线交于点,且.
(1)求直线的解析式;
(2)将直线向下平移一定的距离,使得平移后的直线经过点,且与轴交于点,求四边形的面积.
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【题目】如图1,已知直线的解析式为,直线的解析式为,且的面积为6.
(1)求和的值.
(2)如图1,将直线绕点逆时针旋转得到直线,点在轴上,若点为轴上的一个动点,点为直线上的一个动点,当的值最小时,求此时点的坐标及的最小值.
(3)如图2,将沿着直线平移得到,与轴交于点,连接、,当是等腰三角形时,求此时点坐标.
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【题目】如图,已知反比例函数y=(x>0)的图象与直线:y=kx+b都经过点P(2,m),Q(n,4),且直线交x轴于点A,交y轴于点B,连接OP,OQ.
(1)直接写出m,n的值;m= , n= ;
(2)求直线的函数表达式;
(3)AP与BQ相等吗?写出你的判断,并说明理由;
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