已知:如图.四边形ABCD中.AD∥BC.连接AC.BD交于点O.设△AOD.△AOB.△BOC.△COD的面积分别为S1.S2.S3.S4．(1)求证:S2=S4,(2)设AD=m.BC=n.$\frac{{S} {1}}{{S} {2}}=\frac{m}{n}$.$\frac{{S} {1}}{{S} {3}}$=$\frac{{m}^{2}}{{n}^{2}}$.根据上述条� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

16．

已知：如图，四边形ABCD中，AD∥BC，连接AC，BD交于点O，设△AOD，△AOB，△BOC，△COD的面积分别为S₁，S₂，S₃，S₄．
（1）求证：S₂=S₄；
（2）设AD=m，BC=n，$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}=\frac{m}{n}$，$\frac{{S}_{1}}{{S}_{3}}$=$\frac{{m}^{2}}{{n}^{2}}$，根据上述条件，判断S₁+S₃与S₂+S₄的大小关系，并说明理由．

分析（1）过A、D分别作AE⊥BC于E，DF⊥BC于F，根据同底等高的两个三角形面积相等得到S_△ABC=S_△DBC，证明结论；
（2）根据题意用S₁分别表示S₂、S₃，利用求差法和非负数的性质进行判断即可．

解答证明：（1）过A、D分别作AE⊥BC于E，DF⊥BC于F，
∵AD∥BC，
∴AE=DF，
∴S_△ABC=S_△DBC，
∴S_△ABC-S_△OBC=S_△DBC-S_△OBC，即S_△ABO=S_△DCO，
∴S₂=S₄；
（2）∵$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}=\frac{m}{n}$，
∴S₂=$\frac{n}{m}$S₁，
∵$\frac{{S}_{1}}{{S}_{3}}$=$\frac{{m}^{2}}{{n}^{2}}$，
∴S₃=$\frac{{n}^{2}}{{m}^{2}}$S₁，
∴S₃+S₁=$\frac{{n}^{2}+{m}^{2}}{{m}^{2}}$S₁，
∵S₂=S₄，
∴S₂+S₄=$\frac{2n}{m}$S₁，
∴（S₁+S₃）-（S₂+S₄）=$\frac{{n}^{2}+{m}^{2}}{{m}^{2}}$S₁-$\frac{2n}{m}$S₁=$\frac{（m-n）^{2}}{{m}^{2}}$S₁，
当m=n时，$\frac{（m-n）^{2}}{{m}^{2}}$=0，
S₁+S₃=S₂+S₄，
当m≠n时，$\frac{（m-n）^{2}}{{m}^{2}}$＞0，
（S₁+S₃）-（S₂+S₄）＞0，
（S₁+S₃）＞（S₂+S₄）．

点评本题考查的是面积及等积变换，掌握等底等高的两个三角形面积相等、相似三角形的面积比等于相似比的平方以及等量代换是解题的关键．

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