Question

【题目】如图，⊙O为Rt△ABC的外接圆，弦AC的弦心距为5.

（1）尺规作图：作出∠BOC的平分线，并标出它与劣弧BC的交点E.（保留作图痕迹，不写作法）；

（2）若（1）中的点E到弦BC的距离为3，求弦AC的长.

Answer 1

【答案】(1)详见解析；（2）

【解析】

（1）根据角平分线的一般作法作图；以O为圆心，任意长为半径画弧交OB，OC于两点，再分别以两交点为圆心，大于两交点距离的长为半径画弧，两弧交于一点，连接点O与该交点，交圆于点E，OE即为所求.（2）设OE与BC相交于点F，作OD⊥AC,交AC于点D，设⊙O的半径为x，则，，利用勾股定理,求得半径长，证四边形ODCF为矩形，求出CD;即可求得AC.

（1）OE为所求：

（2）设OE与BC相交于点F，作OD⊥AC,交AC于点D

∵OB=OC,OE平分∠BOC

∴OE⊥BC

∴EF=3

∵

∴四边形ODCF为矩形

∴CD=OF

设⊙O的半径为x

则

∴

∵

∴

解得