Question

已知：在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D是AB的中点，点E是AB边上一点．

（1）直线BF垂直于CE于点F，交CD于点G（如图1），求证：AE=CG；

（2）直线AH垂直于CE，垂足为H，交CD的延长线于点M（如图2），求证：△BCE≌△CAM．

Answer 1

【考点】全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．

【分析】（1）先证出∠ACE=∠CBG，再由ASA证明△ACE≌△CBG，得出对应边相等即可；

（2）先证出∠CEB=∠CMA，再由AAS证明△BCE≌△ACM．

【解答】解：（1）∵点D是AB的中点，AC=BC，∠ACB=90°，

∴CD⊥AB，∠ACD=∠BCD=45°，∠CAD=∠CBD=45°．

∴∠CAE=∠BCG．

又BF⊥CE，

∴∠CBG+∠BCF=90°．

又∠ACE+∠BCF=90°，

∴∠ACE=∠CBG．

在△AEC和△CGB中，

∴△AEC≌△CGB．

∴AE=CG．

（2）∵CH⊥HM，CD⊥ED，

∴∠CMA+∠MCH=90°，∠BEC+∠MCH=90°．

∴∠CMA=∠BEC．

又AC=BC，∠ACM=∠CBE=45°，

在△BCE和△CAM中

∴∠BCE≌△CAM（AAS）．

【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质；熟练掌握全等三角形的判定方法是解决问题的关键．