Question

【题目】如图，在△ABC中，AB＝BC＝2，以AB为直径的⊙O分别交BC，AC于点D，E，且点D是BC的中点．

(1)求证：△ABC为等边三角形．

(2)求DE的长．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）DE＝1.

【解析】

（1）连接AD，利用直径所对的圆周角为直角及垂直平分线的性质得到相等的线段AB=AC，联立已知的AB=BC，即可证得△ABC是等边三角形；

（2）连接BE，利用直径所对的圆周角为直角，得到BE⊥AC，然后利用等腰三角形三线合一的性质得出E为AC的中点，继而利用三角形中位线的数量关系求得DE的长度．

(1)连接AD．

∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°．

∵点D是BC的中点，∴AD是线段BC的垂直平分线，∴AB=AC．

∵AB=BC，∴AB=BC=AC，∴△ABC为等边三角形．

(2)连接BE．

∵AB是直径，∴∠AEB=90°，∴BE⊥AC．

∵△ABC是等边三角形，∴AE=EC，即E为AC的中点．

∵D是BC的中点，∴DE为△ABC的中位线，∴DE=AB=×2=1．